Trên mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài \(8\,\,{\rm{m}}\), chiều rộng \(6\,\,{\rm{m}}\), người ta chia phân khu vực để trồng hoa, trồng cỏ như hình bên. Hoa sẽ được trồng ở khu vực hình bình hành EFKD và GBHI, cỏ sẽ được trồng ở các phần đất còn lại.

a) Tính diện tích trồng hoa.

b) Tiền công để trả cho mỗi mét vuông trồng hoa là \(80\,\,000\) đồng và cho mỗi mét

Gọi số học sinh khối 6 của trường đó là \(x\) (học sinh) \(\left( {x \in \mathbb{N},0 < x < 400} \right)\)

Vì khi xếp hàng 15, 20, 25 đều thiếu 1 người nên \(\left( {x + 1} \right) \vdots 15,\left( {x + 1} \right) \vdots 20,\left( {x + 1} \right) \vdots 25\)

Do đó \(\left( {x + 1} \right) \in BC\left( {15,20,25} \right)\)

Ta có: \(15 = 3.5;\,\,\,\,20 = {2^2}.5;\,\,\,25 = {5^2}\)

Suy ra \(BCNN\left( {15,20,25} \right) = {2^2}{.3.5^2} = 300\)

Khi đó \(\left( {x + 1} \right) \in BC\left( {15,20,25} \right) = B\left( {300} \right) = \left\{ {300;600;...} \right\}\) (do \(x + 1 > 0\))         

Nên \(x \in \left\{ {299;599;...} \right\}\)

Mà \(0 < x < 400\) nên \(x = 299\).

Vậy khối 6 của trường THCS đó có 299 học sinh.

Với mọi số nguyên \(n\) ta có: \(\left( {3n + 1} \right) \vdots \left( {2n - 1} \right)\)

Suy ra \(2\left( {3n + 1} \right) \vdots \left( {2n - 1} \right)\)   

Hay \(\left( {6n + 2} \right) \vdots \left( {2n - 1} \right)\)

\(\left( {6n - 3 + 5} \right) \vdots \left( {2n - 1} \right)\)

\(\left[ {3\left( {2n - 1} \right) + 5} \right] \vdots \left( {2n - 1} \right)\)

Suy ra \(5 \vdots \left( {2n - 1} \right)\) hay \(2n - 1 \in \)Ư\(\left( 5 \right) = \left\{ { - 5; - 1;1;5} \right\}\)

Ta có bảng sau:

Thử lại:

• Với \(n =  - 2\) ta có \(3n + 1 =  - 5\) và \(2n - 1 =  - 5\), do đó \(\left( {3n + 1} \right) \vdots \left( {2n - 1} \right)\)

Suy ra \(n =  - 2\) thỏa mãn yêu cầu.

• Với \(n = 0\) ta có \(3n + 1 = 1\) và \(2n - 1 =  - 1\), do đó \(\left( {3n + 1} \right) \vdots \left( {2n - 1} \right)\)

Suy ra \(n = 0\) thỏa mãn yêu cầu.

• Với \(n = 1\) ta có \(3n + 1 = 4\) và \(2n - 1 = 1\), do đó \(\left( {3n + 1} \right) \vdots \left( {2n - 1} \right)\)

Suy ra \(n = 1\) thỏa mãn yêu cầu.

• Với \(n = 3\) ta có \(3n + 1 = 10\) và \(2n - 1 = 5\), do đó \(\left( {3n + 1} \right) \vdots \left( {2n - 1} \right)\)

Suy ra \(n = 3\) thỏa mãn yêu cầu.

Vậy \(n \in \left\{ { - 2;0;1;3} \right\}\).