Tìm các số nguyên \(x,y\) thỏa mãn \(6{x^2} + 5{y^2} = 54\).

Từ \(6{x^2} + 5{y^2} = 54\), suy ra \(6{x^2} \le 54\) (do \(5{y^2} \ge 0,\) với mọi \(y \in \mathbb{Z}\))

Suy ra \(0 \le {x^2} \le 9\), mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên \({x^2} \in \mathbb{Z}\), do đó \({x^2} \in \left\{ {0;1;4;9} \right\}\)

Mặt khác, \({x^2} + 1 = 55 - 5{x^2} - 5{y^2}\), hiệu này chia hết cho 5

Do đó \(\left( {{x^2} + 1} \right) \vdots 5\), suy ra \({x^2} = 4\) hoặc \({x^2} = 9\)

Với \({x^2} = 4\), ta có \({y^2} = 6\) (loại, vì không thỏa mãn \(y \in \mathbb{Z}\))

Với \({x^2} = 9\), ta có: \({y^2} = 0\) suy ra \(y = 0\)

Khi đó \({x^2} = 9\) suy ra \(x = 3\) hoặc \(x =  - 3\).

Vậy \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {3;0} \right);\left( { - 3;0} \right)} \right\}\).