Thực hiện phép tính (tính hợp lí nếu có thể):

a) \(160 - \left( {{{4.5}^2} - {{3.2}^3}} \right)\);   b) \(43 + \left( { - 100} \right) + \left( { - 43} \right) + 150\);

c) \(\left( { - 15} \right).40:6\);            d) \(125.\left( { - 7} \right) + 14.\left( { - 125} \right) + 125\).

Gọi cạnh hình vuông lớn nhất là \(x\) \[\left( {{\rm{cm}}} \right)\]\(\left( {0 < x < 90} \right)\).

Để cắt tờ bìa hình chữ nhật thành những hình vuông bằng nhau thì \(120 \vdots x\) và \(90 \vdots x\).

Do đó \(x = \)ƯCLN\(\left( {120,90} \right)\)

Ta có: \(120 = {2^3}.3.5\) và \[90 = {2.3^2}.5\].

Suy ra \(x = \)ƯCLN\(\left( {120,90} \right) = 2.3.5 = 30\)

Vậy cạnh hình vuông lớn nhất là \(30\,\,{\rm{cm}}\).

Diện tích của tờ bìa hình chữ nhật ban đầu là: \(120.90 = 10\,\,800\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Diện tích tờ bìa mỗi hình vuông cắt được là: \[30.30 = 900\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\].

Số tờ bìa hình vuông cắt được là: \(10\,\,800:900 = 12\) (tờ).

Gọi các số được điền vào các ô thứ nhất, ô thứ hai, …, ô thứ hai mươi lần lượt là \({a_1},{a_2},...,{a_{20}}\) (hình vẽ).

 Khi đó \({a_2} =  - 17,{a_4} =  - 36,{a_5} =  - 19\).

Do tổng của 4 số ở bốn ô liền nhau bằng \( - 100\) nên ta có:

\[{a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4} =  - 100;\]

\[{a_2} + {a_3} + {a_4} + {a_5} =  - 100;\]

\[{a_3} + {a_4} + {a_5} + {a_6} =  - 100\].

Suy ra \[{a_1} + \left( { - 17} \right) + {a_3} + \left( { - 36} \right) =  - 100\,\,\,\,\left( 1 \right)\]

 \[\left( { - 17} \right) + {a_3} + \left( { - 36} \right) + {a_5} =  - 100\,\,\,\,\left( 2 \right)\]

  \[{a_3} + \left( { - 36} \right) + {a_5} + {a_6} =  - 100\,\,\,\,\left( 3 \right)\]

Từ (1) ta có \[{a_1} + {a_3} =  - 100 - \left( { - 17} \right) - \left( { - 36} \right) =  - 47\]

Từ (2) ta có \[{a_3} + {a_5} =  - 100 - \left( { - 17} \right) - \left( { - 36} \right) =  - 47\]

Do đó \({a_1} = {a_5}\) và \({a_1} + {a_3} = {a_3} + {a_5} =  - 47\)

Từ (3) ta có: \[{a_3} + {a_5} + {a_6} =  - 100 - \left( { - 36} \right) =  - 64\]

Suy ra \( - 47 + {a_6} =  - 64\)

                     \({a_6} =  - 64 - \left( { - 47} \right) =  - 17\).

Mặt khác: \[{a_4} + {a_5} + {a_6} + {a_7} =  - 100\]

Hay \(\left( { - 36} \right) + {a_5} + \left( { - 17} \right) + \left( { - 19} \right) =  - 100\)

Suy ra \({a_5} =  - 100 - \left( { - 36} \right) - \left( { - 17} \right) - \left( { - 19} \right) =  - 28\) nên \({a_1} =  - 28\).

Khi đó \({a_3} =  - 47 - {a_1} =  - 47 - \left( { - 28} \right) =  - 19\).

Tương tự như vậy ta có dải ô như sau: