Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành, \(O\) là giao điểm của hai đường thẳng \(AC\) và \(BD.\) Hai điểm \(M\) và \(I\) lần lượt thuộc cạnh \(SB\) và \(BC\) sao cho \(SM = 2MB,\) \(I\) là trung điểm đoạn \(BC.\)

a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {OMI} \right)\)

b) Tìm giao điểm của đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {OMI} \right)\)

Chọn D

Đặt: \(AH = x\). Điều  kiện:  \(0 < x \ne 40\).                                

Xét tam giác \(ACH\) vuông tại \(H\), có: \(\tan 2\alpha  = \frac{{HC}}{{AH}} = \frac{{90}}{x}\).

Xét tam giác \(ABH\) vuông tại \(H\), có: \(\tan \alpha  = \frac{{HB}}{{AH}} = \frac{{40}}{x}\).

Ta có: \(\tan 2\alpha  = \frac{{2\tan \alpha }}{{1 - {{\tan }^2}\alpha }}\)\( \Leftrightarrow \frac{{90}}{x} = \frac{{2 \cdot \frac{{40}}{x}}}{{1 - \frac{{1600}}{{{x^2}}}}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{90}}{x} = \frac{{\frac{{80}}{x}}}{{\frac{{{x^2} - 1600}}{{{x^2}}}}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{90}}{x} = \frac{{80x}}{{{x^2} - 1600}}\)

            \( \Leftrightarrow 9\left( {{x^2} - 1600} \right) = 8{x^2}\)\( \Leftrightarrow {x^2} = 14400 \Leftrightarrow x = 120.\)

            Khoảng cách từ vận động viên đến bức tường là: \(AH = 120m\).

Chọn C

          \(\cos x - 2m + 3 = 0 \Leftrightarrow \cos x = 2m - 3\).

             Dựa vào đồ thị hàm số \(y = \cos x\) trên đoạn \(\left[ { - 4\pi ;4\pi } \right]\), ta thấy để phương trình có 4 nghiệm thì:

            \(\left[ \begin{array}{l}2m - 3 =  - 1\\2m - 3 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 2\end{array} \right.\).

            Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số \(m\).