Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành, \(O\) là giao điểm của hai đường thẳng \(AC\) và \(BD.\) Hai điểm \(M\) và \(I\) lần lượt thuộc cạnh \(SB\) và \(BC\) sao cho \(SM = 2MB,\) \(I\) là trung điểm đoạn \(BC.\)

a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {OMI} \right)\)

b) Tìm giao điểm của đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {OMI} \right)\)

Chọn D

Gọi \(E,F\) lần lượt là trung điểm của \(AD,AB\).

Ta có: \(\frac{{SM}}{{SE}} = \frac{{SN}}{{SF}} = \frac{2}{3}\)  nên \[MN{\rm{//}}EF\] mà \(EF\) là đường trung bình tam giác \(ABD\) nên \(EF{\rm{//}}BD\).

Do đó \(MN{\rm{//}}BD\).

  Hai mp \(\left( {IMN} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) có điểm \(I\) chung và lần lượt chứa hai đường thẳng song song \(MN\)

  và \(BD\) nên giao tuyến qua điểm \(I\) và song song với \(MN,BD\). Giao tuyến này cắt \(CD,AB,AD\)

  lần lượt tại \(J,H,K\). Suy ra \(P = SB \cap NH,Q = SD \cap MK\).

  Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {IMN} \right) \cap \left( {SBD} \right) = PQ\\\left( {IMN} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = IJ\\\left( {SBD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BD\end{array} \right.\) mà \(IJ{\rm{//}}BD\) nên \(PQ{\rm{//}}IJ{\rm{//}}BD\).

  Mặt khác, \(NP\) không song song với \(MQ\) nên tứ giác \(MNPQ\) là hình thang.