Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là tứ giác \(ABCD.\) Gọi \(M,N\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(SAD,SAB.\) Lấy \(I\) là trung điểm đoạn \(BC.\) Gọi \(P,Q\) lần lượt là giao điểm của \(SB,SD\) với mặt phẳng \(\left( {IMN} \right).\) Mệnh đề nào sau đây đúng?       

Chọn D

Đặt: \(AH = x\). Điều  kiện:  \(0 < x \ne 40\).                                

Xét tam giác \(ACH\) vuông tại \(H\), có: \(\tan 2\alpha  = \frac{{HC}}{{AH}} = \frac{{90}}{x}\).

Xét tam giác \(ABH\) vuông tại \(H\), có: \(\tan \alpha  = \frac{{HB}}{{AH}} = \frac{{40}}{x}\).

Ta có: \(\tan 2\alpha  = \frac{{2\tan \alpha }}{{1 - {{\tan }^2}\alpha }}\)\( \Leftrightarrow \frac{{90}}{x} = \frac{{2 \cdot \frac{{40}}{x}}}{{1 - \frac{{1600}}{{{x^2}}}}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{90}}{x} = \frac{{\frac{{80}}{x}}}{{\frac{{{x^2} - 1600}}{{{x^2}}}}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{90}}{x} = \frac{{80x}}{{{x^2} - 1600}}\)

            \( \Leftrightarrow 9\left( {{x^2} - 1600} \right) = 8{x^2}\)\( \Leftrightarrow {x^2} = 14400 \Leftrightarrow x = 120.\)

            Khoảng cách từ vận động viên đến bức tường là: \(AH = 120m\).

Chọn C

          \(\cos x - 2m + 3 = 0 \Leftrightarrow \cos x = 2m - 3\).

             Dựa vào đồ thị hàm số \(y = \cos x\) trên đoạn \(\left[ { - 4\pi ;4\pi } \right]\), ta thấy để phương trình có 4 nghiệm thì:

            \(\left[ \begin{array}{l}2m - 3 =  - 1\\2m - 3 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 2\end{array} \right.\).

            Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số \(m\).