Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là tứ giác \(ABCD.\) Gọi \(M,N\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(SAD,SAB.\) Lấy \(I\) là trung điểm đoạn \(BC.\) Gọi \(P,Q\) lần lượt là giao điểm của \(SB,SD\) với mặt phẳng \(\left( {IMN} \right).\) Mệnh đề nào sau đây đúng?       

Chọn D

Đặt: \(AH = x\). Điều  kiện:  \(0 < x \ne 40\).                                

Xét tam giác \(ACH\) vuông tại \(H\), có: \(\tan 2\alpha  = \frac{{HC}}{{AH}} = \frac{{90}}{x}\).

Xét tam giác \(ABH\) vuông tại \(H\), có: \(\tan \alpha  = \frac{{HB}}{{AH}} = \frac{{40}}{x}\).

Ta có: \(\tan 2\alpha  = \frac{{2\tan \alpha }}{{1 - {{\tan }^2}\alpha }}\)\( \Leftrightarrow \frac{{90}}{x} = \frac{{2 \cdot \frac{{40}}{x}}}{{1 - \frac{{1600}}{{{x^2}}}}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{90}}{x} = \frac{{\frac{{80}}{x}}}{{\frac{{{x^2} - 1600}}{{{x^2}}}}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{90}}{x} = \frac{{80x}}{{{x^2} - 1600}}\)

            \( \Leftrightarrow 9\left( {{x^2} - 1600} \right) = 8{x^2}\)\( \Leftrightarrow {x^2} = 14400 \Leftrightarrow x = 120.\)

            Khoảng cách từ vận động viên đến bức tường là: \(AH = 120m\).

a)    \(O\) là điểm chung thứ nhất của mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {OMI} \right)\).

Trong mp \(\left( {SBC} \right),\) gọi \(N\) là giao điểm của \(IM\) và \(SC\).

\(\left\{ \begin{array}{l}N \in IM,IM \subset (OMI)\\N \in SC,SC \subset (SAC)\end{array} \right.\)

Nên \(N\) là điểm chung thứ 2 của mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {OMI} \right)\).

Vậy giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {OMI} \right)\)  là \(ON.\)

b)   Trong mp \(\left( {SAC} \right),\) gọi \(P\) là giao điểm của \(ON\) và \(SA\).

Đường thẳng \(SA\) cắt đường thẳng \(ON\) nằm trong mp \(\left( {OMI} \right)\) tại \(P\) nên \(P\) là giao điểm cần tìm .