Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\). Gọi \(CP,\,\,BQ\) là các tia phân giác trong của tam giác \(ABC\) \(\left( {P \in AB,\,\,Q \in AC} \right)\). Gọi \(O\) là giao điểm của \(CP\) và \(BQ\).

a) Chứng minh tam giác \(OBC\) là tam giác cân.

b) Chứng minh đường thẳng \(AO\) vuông góc với \(BC\).

c) Chứng minh \(CP = BQ\).

d) Tam giác \(APQ\) là tam giác gì? Vì sao?

Một hộp có 20 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số \[1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,...\,;\,\,19\,;\,\,20.\] Hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:

a) A: "Số xuất hiện trên thẻ nhỏ hơn 25".

b) B: "Số xuất hiện trên thẻ là số thập phân".

e) E: "Số xuất hiện trên thẻ là số lẻ".

c) C: "Số xuất hiện trên thẻ nhỏ hơn 20 ".

f) F: "Số xuất hiện trên thẻ là số chia hết cho 4".

d) D: "Số xuất hiện trên thẻ lớn hơn 17 ".

g) G: "Số xuất hiện trên thẻ là số nguyên tố".

h) H: "Số xuất hiện trên thẻ là số chia cho 3 dư 2".

Kết quả tìm hiểu về lựa chọn các hoạt động thể thao trong hè của các bạn học sinh lớp 7E được cho bởi bảng thống kê sau:

a) Hãy phân loại các dữ liệu có trong bảng thống kê trên.

b) Lớp 7E có bao nhiêu học sinh?

Điều tra về cân nặng (kg) của 30 bạn học sinh lớp 7A, giáo viên ghi lại trong bảng sau:

a) Hoàn thành bảng số liệu thống kê cân nặng của 30 bạn học sinh lớp 7A theo mẫu sau:

b) Vẽ biểu đồ đoạn thẳng biểu diễn dữ liệu trên.

Cho tam giác \(ABC\), gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Trên tia đối của tia \(MA\) lấy điểm \(D\) sao cho \(MA = MD\). Chứng minh rằng:

a) \(\Delta ABM = \Delta DCM\);

b) \(AB\,{\rm{//}}\,CD\);                                                        

c) \(AM < \frac{{AB + AC}}{2}\).

Biểu đồ bên biểu diễn số trận đấu của cầu thủ Quang Hải trong giải Vô địch bóng đá Quốc gia Việt Nam.

a) Mùa giải năm 2017, Quang Hải thi đấu bao nhiêu trận trong giải Vô địch Quốc gia Việt Nam?

Kết quả điều tra về sự yêu thích các môn học của 300 học sinh lớp 7 được cho dưới dạng biểu đồ quạt bên dưới:

Em hãy cho biết:

a) Có bao nhiêu học sinh thích môn Toán?

b) Số học sinh yêu thích môn Âm Nhạc hay môn Thể thao nhiều hơn và nhiều hơn bao nhiêu học sinh?

Một nghiên cứu đã đưa ra tỉ lệ học sinh cấp THCS nghiện điện thoại di động trong những năm gần đây như biểu đồ dưới:

a) Từ biểu đồ, em hãy lập bảng thống kê về tỉ lệ học sinh cấp THCS nghiện điện thoại di động trong những năm gần đây.

b) Trục đứng biểu diễn đại lượng gì? Dữ liệu về đại lượng này thuộc loại nào?

c) Năm 2021, một trường THCS có 1000 học sinh. Hãy ước lượng số học sinh nghiện điện thoại di động của trường?