Câu hỏi:

02/12/2025 463

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Gọi $CP,\,\,BQ$ là các tia phân giác trong của tam giác $ABC$ $\left( {P \in AB,\,\,Q \in AC} \right)$. Gọi $O$ là giao điểm của $CP$ và $BQ$.

a) Chứng minh tam giác $OBC$ là tam giác cân.

b) Chứng minh đường thẳng $AO$ vuông góc với $BC$.

c) Chứng minh $CP = BQ$.

d) Tam giác $APQ$ là tam giác gì? Vì sao?

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập Giữa kì 2 Toán 7 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

a) Tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$.

Mà \[BQ\] và \[CP\] lần lượt là tia phân giác của $\widehat {ABC}\,,\,\,\widehat {ACB}$ nên $\widehat {OBC} = \widehat {OCB}$.

Do đó tam giác $OBC$ là tam giác cân.
b) Vì $O$ là giao điểm của hai đường phân giác $CP$ và $BQ$ nên \[AO\] là đường phân giác của tam giác $ABC$.

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ có \[AO\] là đường phân giác nên \[AO\] cũng là đường cao.

$Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. G (ảnh 1)$

Do đó đường thẳng \[AO\] vuông góc với $BC$.

c) Vì $\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$; $\widehat {OBC} = \widehat {OCB}$ nên $\widehat {ABQ} = \widehat {ACP}$.

Xét \[\Delta APC\] và \[\Delta AQP\] có

$\widehat {PAQ}$ chung; $AB = AC$ (vì tam giác $ABC$ cân tại $A$); $\widehat {ABQ} = \widehat {ACP}$ (cmt)

Do đó \[\Delta APC = \Delta AQP\,\,{\rm{(g}}{\rm{.c}}{\rm{.g)}}\].

Suy ra \[CP = BQ\] (hai cạnh tương ứng).

d) Từ câu c: \[\Delta APC = \Delta AQP\] suy ra $AP = AQ$ (hai cạnh tương ứng).

Do đó tam giác $APQ$ là tam giác cân.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một hộp có 20 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số \[1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,...\,;\,\,19\,;\,\,20.\] Hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:

a) A: "Số xuất hiện trên thẻ nhỏ hơn 25".

b) B: "Số xuất hiện trên thẻ là số thập phân".

e) E: "Số xuất hiện trên thẻ là số lẻ".

c) C: "Số xuất hiện trên thẻ nhỏ hơn 20 ".

f) F: "Số xuất hiện trên thẻ là số chia hết cho 4".

d) D: "Số xuất hiện trên thẻ lớn hơn 17 ".

g) G: "Số xuất hiện trên thẻ là số nguyên tố".

h) H: "Số xuất hiện trên thẻ là số chia cho 3 dư 2".

Lời giải

Hướng dẫn giải

a) Tất cả các thẻ trong hộp đều ghi số nhỏ nhỏ hơn 25.

Do đó, xác suất của biến cố A là \[100\% \].

b) Tất cả các thẻ trong hộp đều ghi số tự nhiên hay không có thẻ nào ghi số thập phân.

Do đó, xác suất của biến cố B là \[0\% \].

c) Trong 20 thẻ trong hộp thì có 19 thẻ ghi số nhỏ hơn 20 gồm \[\left\{ {1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,...\,;\,\,19} \right\}.\]

Do đó, xác suất của biến cố C là \[\frac{{19}}{{20}}\].

d) Trong 20 thẻ trong hộp thì có 3 thẻ ghi số lớn hơn 17 gồm \[\left\{ {18\,;\,\,19\,;\,\,20} \right\}.\]

Do đó, xác suất của biến cố D là \[\frac{3}{{20}}\].

e) Trong 20 thẻ trong hộp thì có 10 thẻ ghi số chẵn và 10 thẻ ghi số lẻ.

Do đó, xác suất của biến cố E là \[50\% \].

g) Trong 20 thẻ trong hộp có các số chia hết cho 4 là \[4\,;\,\,8\,;\,\,12\,;\,\,16\,;\,\,20\].

Xác suất số chia hết cho 4 là \[\frac{5}{{20}}\].

h) Các số nguyên tố trên thẻ là \[2\,;\,\,3\,;\,\,5\,;\,\,7\,;\,\,13\,;\,\,17\,;\,\,19\];

Xác suất xuất hiện số nguyên tố là \[\frac{7}{{20}}\];

i) Các số chia 3 dư 2 là \[2\,;\,\,5\,;\,\,8\,;\,\,11\,;\,\,14\,;\,\,17\,;\,\,20\];

Xác suất xuất hiện là \[\frac{7}{{20}}\].

Câu 2

Cho tam giác $ABC$, gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Trên tia đối của tia $MA$ lấy điểm $D$ sao cho $MA = MD$. Chứng minh rằng:

a) $\Delta ABM = \Delta DCM$;

b) $AB\,{\rm{//}}\,CD$;

c) $AM < \frac{{AB + AC}}{2}$.

Lời giải

Hướng dẫn giải

a) Xét $\Delta ABM$ và $\Delta DCM$ có

$MA = MD$ (giả thiết)

$MB = MC$ (vì \[M\] là trung điểm)

$\widehat {ABM} = \widehat {CMD}$ (đối đỉnh)

Do đó $\Delta ABM = \Delta DCM$ (c.g.c)

b) Từ câu a: $\Delta ABM = \Delta DCM$.

Suy ra $\widehat {BAM} = \widehat {MDC}$.

Nên $AB\,{\rm{//}}\,CD$ (hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau).

c) Xét bất đẳng thức trong tam giác \[ACD\] có $AD < AC + CD$.

$Cho tam giác $ABC$, gọi \(M\ (ảnh 1)$

Từ $\Delta ABM = \Delta DCM$ suy ra $AB = CD$ (hai cạnh tương ứng)

Do đó $AD < AC + AB$ nên $\frac{{AD}}{2} < \frac{{AB + AC}}{2}$.

Vậy $AM < \frac{{AB + AC}}{2}$.

Câu 3