Câu hỏi:

02/12/2025 7

Cho tam giác $ABC$. Gọi $E,\,\,F$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh $AB,\,\,AC.$ Trên tia đối của tia $FB$ lấy điểm $P$ sao cho $PF = BF$. Trên tia đối của tia $EC$ lấy điểm $Q$ sao cho $QE = CE$.

a) Chứng minh: $\Delta AQE = \Delta BCE\,,\,\,\Delta APF = \Delta CBF$, từ đó suy ra $AP = AQ$.

b) Chứng minh ba điểm $P,\,\,A\,,\,\,Q$ thẳng hàng.

c) Chứng minh $BQ\,{\rm{//}}\,AC$ và $CP\,{\rm{//}}\,AB$.

d) Gọi $R$ là giao điểm của hai đường thẳng $PC$ và $QB$. Chứng minh ba đường thẳng $AR\,,\,\,BP\,,\,\,CQ$ đồng quy.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập Giữa kì 2 Toán 7 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$Cho tam giác $ABC$. Gọi $E,\,\,F$ theo th (ảnh 1)$

a) • Xét $\Delta AQE$ và $\Delta BCE$ có:

$AE = BE$ (vì $E$ là trung điểm của $AB$)

\[\widehat {AEQ} = \widehat {BEP}\] (hai góc đối đỉnh)

$QE = CE$ (gt)

Do đó $\Delta AQE = \Delta BCE\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}$.

Suy ra \[AQ = BC\] (hai cạnh tương ứng) (1)

• Xét $\Delta APF$ và $\Delta CBF$ có

$PF = BF$ (gt)

\[\widehat {AFP} = \widehat {BFC}\] (hai góc đối đỉnh)

$AE = BE$ (vì $F$ là trung điểm của $AC$)

Do đó \[\Delta APF = \Delta CBF\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}\].

Suy ra \[AP = BC\] (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \[AP = AQ\].

b) Ta có $\widehat {QAB} = \widehat {ABC}\,;\,\,\widehat {PAC} = \widehat {ACB}$ (các cặp góc tương ứng của tam giác bằng nhau)

Xét tam giác $ABC$ có \[\widehat {ABC} + \widehat {BAC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \] (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra \[\widehat {QAB} + \widehat {BAC} + \widehat {PAC} = \widehat {ABC} + \widehat {BAC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \].

Do đó, ba điểm $P,\,\,A\,,\,\,Q$ thẳng hàng.

c) Ta có $\widehat {QAB} = \widehat {ABC}\,;\,\,\widehat {PAC} = \widehat {ACB}$ (cmt)

Suy ra $BQ\,{\rm{//}}\,AC$ và $CP\,{\rm{//}}\,AB$ (các cặp góc so le trong).

d) Ba đường thẳng $AR\,,\,\,BP\,,\,\,CQ$ là ba đường trung tuyến của tam giác \[QRP\] nên đồng quy.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho \[\Delta ABC\] nhọn $\left( {AB < AC} \right)$ có đường trung trực của cạnh $AB$ cắt $BC$ tại $D$, trên tia $AD$ lấy điểm $E$ sao cho $AE = BC$. Chứng minh:

a) $\Delta ABC = \Delta BAE$.

b) $AB\,\,{\rm{//}}\,\,CE$.

c) Trung trực của cạnh $AB,\,\,BE,\,\,\,AC$ cùng đi qua một điểm.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

$Cho \[\Delta ABC\] nhọn \(\left( {A (ảnh 1)$

a) Chứng minh: $\Delta ABC = \Delta BAE$.

Vì $D$ nằm trên đường trung trực của $AB$ nên $DA = DB$.

Suy ra $\Delta DAB$ cân tại $D$.

Suy ra $\widehat {DAB} = \widehat {DBA}$ hay $\widehat {EAB} = \widehat {CBA}$.

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta BAE$ có:

$AB$ cạnh chung; $\widehat {EAB} = \widehat {CBA}$ (cmt); $AE = BC$ (giả thiết)

Vậy $\Delta ABC = \Delta BAE$ (c.g.c)

b) Chứng minh $AB\,\parallel \,CE$.

Ta có $AE = BC$ (giả thiết); $DA = DB$ (chứng minh trên)

Suy ra $DA - AE = DB - BC$ nên $DE = DC$.

Do đó $\Delta DEC$ cân tại $D$.

Suy ra $\widehat {DEC} = \widehat {DAB} = \frac{{180^\circ - \widehat {ADB}}}{2}$ hay $\widehat {DEC}$ và $\widehat {DAB}$ ở vị trí đồng vị

Do đó $AB\,\parallel CE$.

c) Trung trực của cạnh $AB,\,BE,\,AC$ cùng đi qua một điểm

Gọi $H$ là giao điểm của trung trực $AB$ và $AC$.

Suy ra $HA = HB = HC$. $\left( 1 \right)$.

Ta có $H$ và $D$ nằm trên trung trực của $AB$ nên $HD \bot AB$.

Mà $AB\parallel CE$ nên $HD \bot CE$.

Mặt khác $\Delta DEC$ cân tại $D$ có $HD \bot CE$.

Suy ra $HD$ là trung trực của $CE$ hay $HE = HC$ $\left( 2 \right)$.

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $HB = HE$ nên $H$ thuộc trung trực của $BE$.

Vậy trung trực của $AB,\,\,\,BE,\,\,\,AC$ cùng đi qua một điểm $H$.

Câu 2

Cho \[\Delta ABC\] có \[AB = AC\], \[M\] là trung điểm của \[BC\]. Trên tia đối của tia \[MA\] lấy điểm \[D\] sao cho \[AM = MD\].

a) Chứng minh rằng $\Delta ABM = \Delta DCM$.

b) Chứng minh $AB\parallel DC$.

c) Chứng minh $AM \bot BC$.

d) Tìm điều kiện của \[\Delta ABC\] để góc $\widehat {ADC} = 45^\circ $.

Xem đáp án

Lời giải

$Cho \[\Delta ABC\] có \[AB = A (ảnh 1)$

a) Xét $\Delta ABM$ và $\Delta DCM$, có:

\[AM = MD\] (gt)

\[\widehat {BMA} = \widehat {CMD}\] (đối đỉnh)

\[BM = MC\] (gt)

Do đó, $\Delta ABM = \Delta DCM$ (c.g.c)

b) Từ phần a, có $\Delta ABM = \Delta DCM$ (c.g.c) nên $\widehat {ABM} = \widehat {DCM}$ (hai góc tương ứng)

Mà hai góc ở vị trí so le trong, suy ra $AB\parallel DC$.

c) Xét \[\Delta ABC\] có \[AB = AC\] nên \[\Delta ABC\] cân tại \[A\].

Mà có \[M\] là trung điểm của \[BC\] nên \[AM\] là đường cao của \[\Delta ABC\].

Suy ra $AM \bot BC$.

d) Từ a) có $\Delta ABM = \Delta DCM$ (c.g.c) nên $AB = DC$ (2 cạnh tương ứng).

Mà \[AB = AC\] nên \[AC = CD\], suy ra $\Delta CAD$ cân tại $C$.

Suy ra $\widehat {ADC} = \widehat {CAD} = 45^\circ $.

Có $\widehat {BAC} = 2\widehat {CAD} = 90^\circ $ (\[AM\] vừa là đường cao, vừa là đường phân giác $\widehat {BAC}$).

Lúc này \[\Delta ABC\] là tam giác vuông cân tại \[A\].

Vậy để góc $\widehat {ADC} = 45^\circ $ thì \[\Delta ABC\] là tam giác vuông cân tại \[A\].

Câu 3