Cho tam giác \(ABC\) có \(AB < AC\). Kẻ tia phân giác \(AD\) của góc \(BAC\) (\(D\) thuộc cạnh \(BC\)). Trên cạnh \(AC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AE = AB\), trên tia \(AB\) lấy điểm \(F\) sao cho \(AF = AC\).
a) Chứng minh \[\Delta BDF = \Delta EDC\].
b) Chứng minh ba điểm \(F,\,D,\,E\) thẳng hàng
c) Chứng minh \(AD\) là đường trung trực của \(BE\) và \(CF\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB < AC\). Kẻ tia phân giác \(AD\) của góc \(BAC\) (\(D\) thuộc cạnh \(BC\)). Trên cạnh \(AC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AE = AB\), trên tia \(AB\) lấy điểm \(F\) sao cho \(AF = AC\).
a) Chứng minh \[\Delta BDF = \Delta EDC\].
b) Chứng minh ba điểm \(F,\,D,\,E\) thẳng hàng
c) Chứng minh \(AD\) là đường trung trực của \(BE\) và \(CF\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Chứng minh \(\Delta BDF = \Delta EDC\).
Vì \(AD\) là phân giác \(\widehat {BAC}\) nên \(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\).
Xét \(\Delta ADF\) và \(\Delta ADC\) có:
\(AF = AC\,;\,\,\widehat {FAD} = \widehat {CAD}\,;\,\,AD\) chung.
Do đó \(\Delta ADF = \Delta ADC\) (c.g.c)
Suy ra \(\widehat {AFD} = \widehat {ACD}\) (hai góc tương ứng) và \(FD = CD\) (hai cạnh tương ứng)
Vì \(AF = AC\,;\,\,AB = AE\) suy ra \(BF = EC\)
Xét tam giác \(BDF\) và tam giác \(EDC\) có:
\(BF = EC\,;\,\,\,\widehat {BFD} = \widehat {ECD}\,;\,\,\,FD = CD\).
Do đó \(\Delta BDF = \Delta EDC\) (c.g.c)
b) Theo câu a) \(\Delta BDF = \Delta EDC\) suy ra \(\widehat {BDF} = \widehat {ECD}\).
Mà \(\widehat {BDE} + \widehat {EDC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) nên\(\widehat {BDE} + \widehat {FDB} = 180^\circ \), do đó \(\widehat {FDE} = 180^\circ \).
Suy ra ba điểm \(F,\,D,\,E\) thẳng hàng.
c) Gọi \(G,\,H\) theo thứ tự là giao điểm của \(AD\) và \(BE,\,CF\).
Xét tam giác \(ABG\) và \(AEG\) có:
\(AB = AE\,;\,\,\widehat {BAG} = \widehat {EAG}\,;\,\,AG\) chung.
Suy ra \(\Delta ABG = \Delta AEG\) (c.g.c)
Do đó, \(\widehat {AGB} = \widehat {AGE}\) (hai góc tương ứng) và \(GB = GE\) (hai cạnh tương ứng) (1)
Mà \(\widehat {AGB} + \widehat {AGE} = 180^\circ \) suy ra \(\widehat {AGB} = \widehat {AGE} = 90^\circ \) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AD\) là đường trung trực \(BE\).
Chứng minh tương tự ta có \(AD\) là đường trung trực \(CF\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Hướng dẫn giải
![Cho \[\Delta ABC\] nhọn \(\left( {A (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/46-1764649795.png)
a) Chứng minh: \(\Delta ABC = \Delta BAE\).
Vì \(D\) nằm trên đường trung trực của \(AB\) nên \(DA = DB\).
Suy ra \(\Delta DAB\) cân tại \(D\).
Suy ra \(\widehat {DAB} = \widehat {DBA}\) hay \(\widehat {EAB} = \widehat {CBA}\).
Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta BAE\) có:
\(AB\) cạnh chung; \(\widehat {EAB} = \widehat {CBA}\) (cmt); \(AE = BC\) (giả thiết)
Vậy \(\Delta ABC = \Delta BAE\) (c.g.c)
b) Chứng minh \(AB\,\parallel \,CE\).
Ta có \(AE = BC\) (giả thiết); \(DA = DB\) (chứng minh trên)
Suy ra \(DA - AE = DB - BC\) nên \(DE = DC\).
Do đó \(\Delta DEC\) cân tại \(D\).
Suy ra \(\widehat {DEC} = \widehat {DAB} = \frac{{180^\circ - \widehat {ADB}}}{2}\) hay \(\widehat {DEC}\) và \(\widehat {DAB}\) ở vị trí đồng vị
Do đó \(AB\,\parallel CE\).
c) Trung trực của cạnh \(AB,\,BE,\,AC\) cùng đi qua một điểm
Gọi \(H\) là giao điểm của trung trực \(AB\) và \(AC\).
Suy ra \(HA = HB = HC\). \(\left( 1 \right)\).
Ta có \(H\) và \(D\) nằm trên trung trực của \(AB\) nên \(HD \bot AB\).
Mà \(AB\parallel CE\) nên \(HD \bot CE\).
Mặt khác \(\Delta DEC\) cân tại \(D\) có \(HD \bot CE\).
Suy ra \(HD\) là trung trực của \(CE\) hay \(HE = HC\) \(\left( 2 \right)\).
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(HB = HE\) nên \(H\) thuộc trung trực của \(BE\).
Vậy trung trực của \(AB,\,\,\,BE,\,\,\,AC\) cùng đi qua một điểm \(H\).
Lời giải
![Cho \[\Delta ABC\] có \[AB = A (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/41-1764649667.png)
a) Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta DCM\), có:
\[AM = MD\] (gt)
\[\widehat {BMA} = \widehat {CMD}\] (đối đỉnh)
\[BM = MC\] (gt)
Do đó, \(\Delta ABM = \Delta DCM\) (c.g.c)
b) Từ phần a, có \(\Delta ABM = \Delta DCM\) (c.g.c) nên \(\widehat {ABM} = \widehat {DCM}\) (hai góc tương ứng)
Mà hai góc ở vị trí so le trong, suy ra \(AB\parallel DC\).
c) Xét \[\Delta ABC\] có \[AB = AC\] nên \[\Delta ABC\] cân tại \[A\].
Mà có \[M\] là trung điểm của \[BC\] nên \[AM\] là đường cao của \[\Delta ABC\].
Suy ra \(AM \bot BC\).
d) Từ a) có \(\Delta ABM = \Delta DCM\) (c.g.c) nên \(AB = DC\) (2 cạnh tương ứng).
Mà \[AB = AC\] nên \[AC = CD\], suy ra \(\Delta CAD\) cân tại \(C\).
Suy ra \(\widehat {ADC} = \widehat {CAD} = 45^\circ \).
Có \(\widehat {BAC} = 2\widehat {CAD} = 90^\circ \) (\[AM\] vừa là đường cao, vừa là đường phân giác \(\widehat {BAC}\)).
Lúc này \[\Delta ABC\] là tam giác vuông cân tại \[A\].
Vậy để góc \(\widehat {ADC} = 45^\circ \) thì \[\Delta ABC\] là tam giác vuông cân tại \[A\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập