Trong kì thi học sinh giỏi câu lạc bộ các môn văn hóa, lớp 7A có 7 học sinh đăng kí thi môn Toán, 5 học sinh đăng kí môn Ngữ văn, 6 học sinh đăng kí thi môn Ngoại ngữ; trong đó có 3 học sinh đăng kí thi cả Toán và Ngữ văn, 4 học sinh đăng kí thi cả Toán và Ngoại ngữ, 2 học sinh đăng kí thi cả Ngữ văn và Ngoại ngữ, 1 học sinh đăng kí cả ba môn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh đăng kí thi trong lớp 7A. Tính xác suất của biến cố \(A\): “Học sinh được chọn đăng kí thi môn Toán”.

Cho \[\Delta ABC\] nhọn \(\left( {AB < AC} \right)\) có đường trung trực của cạnh \(AB\) cắt \(BC\) tại \(D\), trên tia \(AD\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AE = BC\). Chứng minh:

a) \(\Delta ABC = \Delta BAE\).

b) \(AB\,\,{\rm{//}}\,\,CE\).

c) Trung trực của cạnh \(AB,\,\,BE,\,\,\,AC\) cùng đi qua một điểm.

Cho \[\Delta ABC\] có \[AB = AC\], \[M\] là trung điểm của \[BC\]. Trên tia đối của tia \[MA\] lấy điểm \[D\] sao cho \[AM = MD\].

a) Chứng minh rằng \(\Delta ABM = \Delta DCM\).

b) Chứng minh \(AB\parallel DC\).

c) Chứng minh \(AM \bot BC\).

d) Tìm điều kiện của \[\Delta ABC\] để góc \(\widehat {ADC} = 45^\circ \).

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\). Trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(BE = BA\), trên tia \(BA\) lấy điểm \(F\) sao cho \(BF = BC\). Kẻ \(BD\) là phân giác của \(\widehat {ABC}\,\,\left( {D \in AC} \right)\). Chứng minh rằng:

a) \(DE \bot BC\);                   b) \(AD < DC\);                      c) \(\Delta ADF = \Delta EDC.\)

Cho \(\Delta ABC\) có \(AB < AC\,\). Kẻ \(AH\) vuông góc với \(BC(\,H \in BC)\). Trên tia \(AH\) lấy điểm \(K\) sao cho \(H\) là trung điểm của \(AK\).

a) chứng minh: \(\Delta AHC = \Delta KCH\).

b) Gọi \(E\) là trung điểm của \(BC\). Trên tia \(AE\) lấy điểm \(D\) sao cho \(E\) là trung điểm của \(AD\). Chứng minh rằng: \(BD = AC = CK\).

c) chứng minh rằng: \(EH\) là tia phân giác của góc \(\widehat {AEK}\) và \(DK\,{\rm{//}}\,BC\).

d) Gọi \(I\) là giao điểm của \(BD\) và \(CK\), \(N\) là trung điểm của \(KD\). Chứng minh: \(E,I,N\) thẳng hàng.

Cho tam giác \(ABC\) có \(AB < AC\). Kẻ tia phân giác \(AD\) của góc \(BAC\) (\(D\) thuộc cạnh \(BC\)). Trên cạnh \(AC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AE = AB\), trên tia \(AB\) lấy điểm \(F\) sao cho \(AF = AC\).

a) Chứng minh \[\Delta BDF = \Delta EDC\].

b) Chứng minh ba điểm \(F,\,D,\,E\) thẳng hàng

c) Chứng minh \(AD\) là đường trung trực của \(BE\) và \(CF\).

Cho \[\Delta ABC\] vuông tại \(A\), kẻ \(AH \bot BC\) \(\left( {H \in BC} \right)\). Tia phân giác của \(\widehat {BAH}\) cắt \(BC\) ở \(D\).

a) Chứng minh \(\Delta ADC\,\) cân.

b) Lấy điểm \[E\] trên cạnh BC sao cho \(BE = BA\). Kẻ \[DI \bot AB\], \(EJ \bot AC\) \(\left( {I \in AB,\,\,J \in AC} \right)\). Chứng minh \(DE = DI + EJ\).

c) Tính góc \(DAE\).

d) \(IJ\) cắt \(AD\) tại \(K\). Chứng minh \[BK\] là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\).

Cho \[\Delta ABC\] cân tại \[A\] \[(\hat A < 90^\circ )\]. Gọi \[I\] là trung điểm của \[BC\]. Kẻ \[IH \bot BA\,\,\left( {H \in BA} \right),\] \[IK \bot AC\,\,\left( {K \in AC} \right)\].

a) Chứng minh \[\Delta IHB = \Delta IKC\].

b) Kéo dài \[KI\] và \[AB\] cắt nhau tại \[{\rm{E}}\], kéo dài \[HI\] và \[AC\] cắt nhau tại \[{\rm{F}}\]. Chứng minh  cân.

c) Chúng minh \[HK\,{\rm{//}}\,EF\].