Phần 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Các nhà tâm lí học sử dụng mô hình hàm số mũ để mô phỏng quá trình học tập của một học sinh như sau \(f\left( t \right) = c\left( {1 - {e^{ - kt}}} \right)\), trong đó \(c\) là tổng số đơn vị kiến thức học sinh phải học, \(k\) (kiến thức/ngày) là tốc độ tiếp thu của học sinh, \(t\) (ngày) là thời gian học và \(f\left( t \right)\) là số đơn vị kiến thức học sinh đã học được. (nguồn: R.I. Charles et al, Algebra 2, Pearson). Giả sử một em học sinh phải tiếp thu 25 đơn vị kiến thức mới. Biết rằng tốc độ tiếp thu của em học sinh là \(k = 0,2\). Hỏi em học sinh sẽ nhớ được (khoảng) bao nhiêu đơn vị kiến thức mới sau 8 ngày? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

a) Vì \({x^2} + 1 > 0\) nên hàm số \(f\left( x \right) = {\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right)\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

b) Thay \(x =  - 1\) vào hàm số ta có \({\log _5}\left( {{{\left( { - 1} \right)}^2} + 1} \right) = {\log _5}2 > 0\).

Do đó \(x =  - 1\) không là nghiệm của bất phương trình \(f\left( x \right) < 0\).

c) \(f\left( {x - 2} \right) = {\log _5}\left( {2{x^2} - x + 7} \right)\)\( \Leftrightarrow {\log _5}\left( {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 1} \right) = {\log _5}\left( {2{x^2} - x + 7} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\log _5}\left( {{x^2} - 4x + 5} \right) = {\log _5}\left( {2{x^2} - x + 7} \right)\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 5 = 2{x^2} - x + 7\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 2 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x =  - 2\end{array} \right.\).

Vậy phương trình có hai nghiệm.

d) \(f\left( x \right) = {\log _5}\left( {{x^2} + 4x + m} \right) - 1\)\( \Leftrightarrow {\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right) = {\log _5}\left( {{x^2} + 4x + m} \right) - 1\)

\( \Leftrightarrow {\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right) + {\log _5}5 = {\log _5}\left( {{x^2} + 4x + m} \right)\)\( \Leftrightarrow 5\left( {{x^2} + 1} \right) = {x^2} + 4x + m\)\( \Leftrightarrow 4{x^2} - 4x + 5 - m = 0\).

Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 4 - 4\left( {5 - m} \right) > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 4\\5 - m > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 4\\m < 5\end{array} \right.\).

Vậy \(m \in \left( {4;5} \right)\).

Đáp án: a) Đúng;     b) Sai;    c) Sai;    d) Đúng.

a) Hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên tập hợp \(\mathbb{R}\).

b) \(\left( {f\left( x \right) - {5^m}} \right)\left( {25f\left( x \right) - 1} \right) < 0\)\( \Leftrightarrow \left( {{5^x} - {5^m}} \right)\left( {25 \cdot {5^x} - 1} \right) < 0\).

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}{5^x} - {5^m} > 0\\25 \cdot {5^x} - 1 < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{5^x} > {5^m}\\{5^x} < {5^{ - 2}}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > m\\x <  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m < x <  - 2\) (loại).

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}{5^x} - {5^m} < 0\\25 \cdot {5^x} - 1 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{5^x} < {5^m}\\{5^x} > {5^{ - 2}}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < m\\x >  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 2 < x < m\).

Số nghiệm nguyên của bất phương trình là \(m + 1\).

Để bất phương trình có không quá 31 nghiệm nguyên thì \(m + 1 \le 31 \Leftrightarrow m \le 30\).

Vậy có 30 giá trị nguyên dương thỏa mãn yêu cầu đề bài.

c) \(f\left( {{{\log }_5}3} \right) = {5^{{{\log }_5}3}} = 3\).

d) Ta có \(f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = 6\)\( \Leftrightarrow {5^x} + {5^{ - x}} = 6\).

Ta có \(f\left( {2x} \right) + f\left( { - 2x} \right)\)\( = {5^{2x}} + {5^{ - 2x}}\)\( = {\left( {{5^x} + {5^{ - x}}} \right)^2} - 2 = 36 - 2 = 34\).

Đáp án: a) Sai;     b) Đúng;    c) Đúng;    d) Sai.