Cho \({\log _a}b = 3\). Tính giá trị của \({\log _a}\left( {{a^3}{b^4}} \right)\).

a) Vì \({x^2} + 1 > 0\) nên hàm số \(f\left( x \right) = {\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right)\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

b) Thay \(x =  - 1\) vào hàm số ta có \({\log _5}\left( {{{\left( { - 1} \right)}^2} + 1} \right) = {\log _5}2 > 0\).

Do đó \(x =  - 1\) không là nghiệm của bất phương trình \(f\left( x \right) < 0\).

c) \(f\left( {x - 2} \right) = {\log _5}\left( {2{x^2} - x + 7} \right)\)\( \Leftrightarrow {\log _5}\left( {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 1} \right) = {\log _5}\left( {2{x^2} - x + 7} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\log _5}\left( {{x^2} - 4x + 5} \right) = {\log _5}\left( {2{x^2} - x + 7} \right)\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 5 = 2{x^2} - x + 7\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 2 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x =  - 2\end{array} \right.\).

Vậy phương trình có hai nghiệm.

d) \(f\left( x \right) = {\log _5}\left( {{x^2} + 4x + m} \right) - 1\)\( \Leftrightarrow {\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right) = {\log _5}\left( {{x^2} + 4x + m} \right) - 1\)

\( \Leftrightarrow {\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right) + {\log _5}5 = {\log _5}\left( {{x^2} + 4x + m} \right)\)\( \Leftrightarrow 5\left( {{x^2} + 1} \right) = {x^2} + 4x + m\)\( \Leftrightarrow 4{x^2} - 4x + 5 - m = 0\).

Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 4 - 4\left( {5 - m} \right) > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 4\\5 - m > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 4\\m < 5\end{array} \right.\).

Vậy \(m \in \left( {4;5} \right)\).

Đáp án: a) Đúng;     b) Sai;    c) Sai;    d) Đúng.

a) Hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên tập hợp \(\mathbb{R}\).

b) \(\left( {f\left( x \right) - {5^m}} \right)\left( {25f\left( x \right) - 1} \right) < 0\)\( \Leftrightarrow \left( {{5^x} - {5^m}} \right)\left( {25 \cdot {5^x} - 1} \right) < 0\).

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}{5^x} - {5^m} > 0\\25 \cdot {5^x} - 1 < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{5^x} > {5^m}\\{5^x} < {5^{ - 2}}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > m\\x <  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m < x <  - 2\) (loại).

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}{5^x} - {5^m} < 0\\25 \cdot {5^x} - 1 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{5^x} < {5^m}\\{5^x} > {5^{ - 2}}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < m\\x >  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 2 < x < m\).

Số nghiệm nguyên của bất phương trình là \(m + 1\).

Để bất phương trình có không quá 31 nghiệm nguyên thì \(m + 1 \le 31 \Leftrightarrow m \le 30\).

Vậy có 30 giá trị nguyên dương thỏa mãn yêu cầu đề bài.

c) \(f\left( {{{\log }_5}3} \right) = {5^{{{\log }_5}3}} = 3\).

d) Ta có \(f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = 6\)\( \Leftrightarrow {5^x} + {5^{ - x}} = 6\).

Ta có \(f\left( {2x} \right) + f\left( { - 2x} \right)\)\( = {5^{2x}} + {5^{ - 2x}}\)\( = {\left( {{5^x} + {5^{ - x}}} \right)^2} - 2 = 36 - 2 = 34\).

Đáp án: a) Sai;     b) Đúng;    c) Đúng;    d) Sai.