Cho \(A = \frac{1}{{31}} + \frac{1}{{32}} + \frac{1}{{33}} + ... + \frac{1}{{60}}.\) Chứng minh rằng: \(A > \frac{3}{5}.\)

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 6 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\frac{1}{{31}} > \frac{1}{{40}};\)

\(\frac{1}{{32}} > \frac{1}{{40}};\)

\(\frac{1}{{33}} > \frac{1}{{40}};\)

…..

\(\frac{1}{{40}} = \frac{1}{{40}}.\)

Cộng vế theo vế ta được:

\[\frac{1}{{31}} + \frac{1}{{32}} + \frac{1}{{33}} + ..... + \frac{1}{{40}} > \underbrace {\frac{1}{{40}} + \frac{1}{{40}} + \frac{1}{{40}} + ..... + \frac{1}{{40}}}_{10\,\,so\,\,hang} = 10 \cdot \frac{1}{{40}} = \frac{1}{4}.\]

Tương tự ta được:

\[\frac{1}{{41}} + \frac{1}{{42}} + \frac{1}{{43}} + ..... + \frac{1}{{50}} > \underbrace {\frac{1}{{50}} + \frac{1}{{50}} + \frac{1}{{50}} + ..... + \frac{1}{{50}}}_{10\,\,so\,\,hang} = \frac{1}{5};\]

\[\frac{1}{{51}} + \frac{1}{{52}} + \frac{1}{{53}} + ..... + \frac{1}{{60}} > \underbrace {\frac{1}{{60}} + \frac{1}{{60}} + \frac{1}{{60}} + ..... + \frac{1}{{60}}}_{10\,\,so\,\,hang} = \frac{1}{6}.\]

Suy ra \(\frac{1}{{31}} + \frac{1}{{32}} + \frac{1}{{33}} + ..... + \frac{1}{{60}} > \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6}.\)

Mà \(\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{5}{{12}} > \frac{2}{5}\) nên \(\frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} > \frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{5}.\)

Do đó \(\frac{1}{{31}} + \frac{1}{{32}} + \frac{1}{{33}} + ..... + \frac{1}{{60}} > \frac{3}{5}.\)

Vậy \(A > \frac{3}{5}.\)

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Lớp 6A chia làm ba tổ trồng được một số cây. Số cây tổ 1 trồng được bằng \(\frac{1}{3}\) số cây cả lớp trồng được. Tổ 2 trồng được \(\frac{5}{{12}}\) số cây cả lớp trồng được. Tổ 3 trồng được 30 cây. Tính số cây mỗi tổ trồng được.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải:

Tổ 3 trồng được chiếm số phần tổng số cây cả lớp trồng được là:

\(1 - \frac{1}{3} - \frac{5}{{12}} = \frac{{12}}{{12}} - \frac{4}{{12}} - \frac{5}{{12}} = \frac{3}{{12}} = \frac{1}{4}\) (số cây cả lớp trồng được).

Số cây cả lớp trồng được là:

\(30:\frac{1}{4} = 120\) (cây).

Số cây tổ 1 trồng được là:

\(120 \cdot \frac{1}{3} = 40\) (cây).

Số cây tổ 2 trồng được là:

\(120 - 40 - 30 = 50\) (cây).

Câu 2

Một giỏ có chứa 1 số quả gồm các loại quả: cam, quýt và táo. Số cam bằng \(\frac{2}{5}\) tổng số quả, số quýt bằng \(\frac{1}{2}\) số quả cam, còn lại là 20 quả táo. Tính số quả mỗi loại.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải:

Số quýt chiếm số phần tổng số quả là:

\(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{5}\) (tổng số quả).

Số táo chiếm số phần tổng số quả là:

\(1 - \frac{2}{5} - \frac{1}{5} = \frac{2}{5}\) (tổng số quả).

Tổng số quả có trong giỏ là:

\(20:\frac{2}{5} = 20 \cdot \frac{5}{2} = 50\) (quả).

Số quả cam có trong giỏ là:

\(50 \cdot \frac{2}{5} = 20\) (quả).

Số quả quýt có trong giỏ là:

\(50 - 20 - 20 = 10\) (quả).

Câu 3