Vào năm 2025, các nhà khảo cổ học đã phát hiện ta một bản đồ kho báu tại Dubai (điểm \(D).\) Sau khi phân tích, họ đã chỉ các nơi được đánh dấu trên bản đồ tương ứng với những địa điểm sau: Thành phố Ajax (Điểm \(A\)), thủ đô Berlin (Điểm \(B\)), thủ độ Edinburgh (Điểm \(E\)), thành phố Chicago (Điểm \(C\)) và nơi chứa kho báu (điểm \(G\)). Các chuyên gia cho rằng, để tới được vị trí kho báu thì cần phải xuất phát từ Dubai (điểm \(D\)). Tất nhiên, chỉ có thể chọn một tuyến đường duy nhất trong những tuyến đường được dự đoán dưới đây để dẫn đến kho báu.

Tuyến đường 1: \(D \to A \to B \to E \to G\).

Tuyến đường 2: \(D \to A \to B \to C \to G\).

Tuyến đường 3: \(D \to C \to G\).

Sau khi tính toán kĩ khoảng cách giữa các địa điểm, nhà phân tích thu được kết quả như sau:

Quãng đường	\(DA\)	\(AB\)	\(BE\)	\(EG\)	\(BC\)	\(DC\)	\(CG\)
Độ dài (km)	6	5	5	5	6	10	2

Em hãy cho biếu trong ba tuyến đường trên thì tuyến đường nào nhanh nhất để dẫn tới kho báu? Tính độ dài quãng đường đó.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: \(A = \frac{{12n}}{{3n + 3}} = \frac{{12n}}{{3\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{4n}}{{n + 1}}.\)

Với \(n \in \mathbb{Z},\) để \(A\) là phân số thì \(n + 1 \ne 0,\) hay \(n \ne - 1.\)

Vậy với \(n \in \mathbb{Z}\) và \(n \ne - 1\) thì \(A\) là phân số.

b) Ta có: \(A = \frac{{12n}}{{3n + 3}} = \frac{{12n}}{{3\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{4n}}{{n + 1}} = 4 - \frac{4}{{n + 1}}.\)

Với \(n \in \mathbb{Z},\) để \(A\) là số nguyên thì \(n + 1 \in \)Ư\(\left( 4 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2;\,\,4;\,\, - 4} \right\}\)

Ta có bảng sau:

Vậy \(n \in \left\{ {0;\,\,\, - 2;\,\,\,1;\,\,\, - 3;\,\,\,3;\,\,\, - 5} \right\}.\)

c) Ta có: \(A = \frac{{12n}}{{3n + 3}} = \frac{{12n}}{{3\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{4n}}{{n + 1}}\)

Với mọi số tự nhiên \(n\) ta có \(4n \ge 0;\) \(n + 1 > 0\) nên \(A = \frac{{4n}}{{n + 1}} \ge 0\)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(n = 0\) (thỏa mãn).

Vậy với \(n = 0\) thì \(A\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(0\).

Hướng dẫn giải:

a) Với \(n \ne 1,\) ta có \(\frac{{n + 13}}{{n - 1}} = \frac{{n - 1 + 14}}{{n - 1}} = 1 + \frac{{14}}{{n - 1}}.\)

Với \(n \in \mathbb{Z},\) để \[\frac{{n + 13}}{{n - 1}}\] tối giản thì \[\frac{{14}}{{n - 1}}\] phải là tối giản, tức là \[14\] và \(n - 1\) là hai số nguyên tố cùng nhau.

Ngoài các ước là \[1\] và \[14,\] thì \[14\] còn có các ước \[2;\,\,7.\]

Do đó để \(\left( {14,n - 1} \right) = 1\) thì \(n - 1\) không chia hết cho \[2\] và \(n - 1\) không chia hết cho \[7.\]

Tức là \(n - 1 \ne 2k\) (với \(k \in \mathbb{Z})\) và \(n - 1 \ne 7q\) (với \(q \in \mathbb{Z})\)

Vậy với \(n \ne 2k + 1\) và \(n \ne 7q + 1\) \[\left( {k,\,q \in \mathbb{Z}} \right)\] thì \(\frac{{n + 13}}{{n - 1}}\) là phân số tối giản.

b) Giả sử \(d\) là ước chung nguyên tố của \[\left( {18n + 3} \right)\] và \[\left( {21n + 7} \right).\]

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {18n + 3} \right) \vdots d\\\left( {21n + 7} \right) \vdots d\end{array} \right.\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}7 \cdot \left( {18n + 3} \right) \vdots d\\6 \cdot \left( {21n + 7} \right) \vdots d\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {126n + 21} \right) \vdots d\\\left( {126n + 42} \right) \vdots d\end{array} \right.\)

Do đó \(\left( {126n + 42 - 126n - 21} \right) \vdots d\) hay \(21 \vdots d\) nên \(d \in \left\{ {3;7} \right\}.\)

⦁ Với \(d = 3\) ta có \(\left( {21n + 7} \right) \vdots 3\) nên \(7 \vdots 3\) (điều này là vô lí).

⦁ Với \[d = 7\] ta có \[\left( {18n + 3} \right) \vdots 7\] nên \[\left( {18n + 3n - 3n + 3} \right) \vdots 7\] hay \[\left( {21n - 3n + 3} \right) \vdots 7\]

Tức là \[\left( {3 - 3n} \right) \vdots 7\] hay \[3\left( {n - 1} \right) \vdots 7\] nên \(\left( {n - 1} \right) \vdots 7\)

Khi đó \[n - 1 = 7k\] \[\left( {k \in \mathbb{Z},\,\,k \ne 0} \right)\] hay \[n = 7k + 1\] \[\left( {k \in \mathbb{Z},\,\,k \ne 0} \right)\]

Vậy phân số \(\frac{{18n + 3}}{{21n + 7}}\) là tối giản khi \(d \ne 7\) hay \[n \ne 7k + 1\] \[\left( {k \in \mathbb{Z},\,\,k \ne 0} \right).\]