Cho \(A = \frac{1}{{31}} + \frac{1}{{32}} + \frac{1}{{33}} + ... + \frac{1}{{60}}.\) Chứng minh rằng: \(A > \frac{3}{5}.\)

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 6 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\frac{1}{{31}} > \frac{1}{{40}};\)

\(\frac{1}{{32}} > \frac{1}{{40}};\)

\(\frac{1}{{33}} > \frac{1}{{40}};\)

…

\(\frac{1}{{40}} = \frac{1}{{40}}.\)

Cộng vế theo vế ta được:

\[\frac{1}{{31}} + \frac{1}{{32}} + \frac{1}{{33}} + ..... + \frac{1}{{40}} > \underbrace {\frac{1}{{40}} + \frac{1}{{40}} + \frac{1}{{40}} + ..... + \frac{1}{{40}}}_{10\,\,so\,\,hang} = 10 \cdot \frac{1}{{40}} = \frac{1}{4}.\]

Tương tự ta được:

\[\frac{1}{{41}} + \frac{1}{{42}} + \frac{1}{{43}} + ..... + \frac{1}{{50}} > \underbrace {\frac{1}{{50}} + \frac{1}{{50}} + \frac{1}{{50}} + ..... + \frac{1}{{50}}}_{10\,\,so\,\,hang} = \frac{1}{5};\]

\[\frac{1}{{51}} + \frac{1}{{52}} + \frac{1}{{53}} + ..... + \frac{1}{{60}} > \underbrace {\frac{1}{{60}} + \frac{1}{{60}} + \frac{1}{{60}} + ..... + \frac{1}{{60}}}_{10\,\,so\,\,hang} = \frac{1}{6}.\]

Suy ra \(\frac{1}{{31}} + \frac{1}{{32}} + \frac{1}{{33}} + ..... + \frac{1}{{60}} > \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6}.\)

Mà \(\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{5}{{12}} > \frac{2}{5}\) nên \(\frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} > \frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{5}.\)

Do đó \(\frac{1}{{31}} + \frac{1}{{32}} + \frac{1}{{33}} + ..... + \frac{1}{{60}} > \frac{3}{5}.\)

Vậy \(A > \frac{3}{5}.\)

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Lớp 6A có \(40\) học sinh xếp loại kết quả học tập học kì I bao gồm ba loại: Tốt, Khá và Đạt. Số học sinh có kết quả học tập Tốt chiếm \(\frac{1}{5}\) số học sinh cả lớp, số học sinh có kết quả học tập ở mức Đạt bằng \(\frac{3}{8}\) số học sinh còn lại. Tính số học sinh mỗi loại của lớp 6A.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải:

Số học sinh có kết quả học tập Tốt là:

\(40 \cdot \frac{1}{5} = 8\) (học sinh).

Số học sinh còn lại là:

\(40 - 8 = 32\) (học sinh).

Số học sinh có kết quả học tập ở mức Đạt là:

\(32 \cdot \frac{3}{8} = 12\) (học sinh).

Số học sinh có kết quả học tập Khá là:

\(32 - 12 = 20\) (học sinh).

Câu 2

Một cửa hàng bán gạo bán hết số gạo của mình trong 3 ngày. Ngày thứ nhất bán được \(\frac{3}{7}\) số gạo của cửa hàng. Ngày thứ hai bán được 26 tấn. Ngày thứ ba bán được số gạo chỉ bằng \(\frac{1}{4}\) số gạo bán được trong ngày thứ nhất.

a) Ban đầu cửa hàng có bao nhiêu tấn gạo?

b) Tính số gạo mà cửa hàng bán được trong ngày thứ nhất và ngày thứ ba.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải:

a) Số gạo ngày thứ ba bán được chiếm số phần tổng số gạo là:

\(\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{7} = \frac{3}{{28}}\) (tổng số gạo).

Số gạo ngày thứ hai bán được chiếm số phần tổng số gạo là:

\(1 - \frac{3}{7} - \frac{3}{{28}} = \frac{{28}}{{28}} - \frac{{12}}{{28}} - \frac{3}{{28}} = \frac{{13}}{{28}}\) (tổng số gạo).

Số gạo ban đan đầu cửa hàng có là:

\(26:\frac{{13}}{{28}} = 26 \cdot \frac{{28}}{{13}} = 56\) (tấn).

b) Số gạo ngày thứ nhất cửa hàng bán được là:

\(56 \cdot \frac{3}{7} = 24\) (tấn).

Số gạo ngày thứ nhất cửa hàng bán được là:

\(24 \cdot \frac{1}{4} = 6\) (tấn).

Câu 3