Cho \(A = \frac{1}{{31}} + \frac{1}{{32}} + \frac{1}{{33}} + ... + \frac{1}{{60}}.\) Chứng minh rằng: \(A > \frac{3}{5}.\)

Hướng dẫn giải:

Ta có \[\frac{{2025}}{1} = 2025 = \underbrace {1 + 1 + 1... + 1}_{2025\,\,so\,\,hang}\]

Khi đó:

\(B = \frac{{2025}}{1} + \frac{{2024}}{2} + \frac{{2013}}{3} + \ldots + \frac{1}{{2025}}\)

\( = 1 + \left( {\frac{{2024}}{2} + 1} \right) + \left( {\frac{{2013}}{3} + 1} \right) + \ldots + \left( {\frac{1}{{2025}} + 1} \right)\)

\( = 1 + \frac{{2026}}{2} + \frac{{2026}}{3} + ... + \frac{{2026}}{{2025}}\)

\( = \frac{{2026}}{2} + \frac{{2026}}{3} + ... + \frac{{2026}}{{2025}} + \frac{{2026}}{{2026}}\)

\(B = 2026 \cdot \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{2025}} + \frac{1}{{2026}}} \right) = 2026A\)

Ta có \(\frac{B}{A} = \frac{{2026A}}{A} = 2026.\)

Vậy \(\frac{B}{A} = 2026.\)

Hướng dẫn giải:

Số học sinh khối 11 chiếm số phần số học sinh toàn trường là:

\(\frac{5}{4} \cdot \frac{4}{{15}} = \frac{1}{3}\) (số học sinh toàn trường).

Số học sinh khối 10 chiếm số phần số học sinh toàn trường là:

\(1 - \frac{4}{{15}} - \frac{1}{3} = \frac{{15}}{{15}} - \frac{4}{{15}} - \frac{5}{{15}} = \frac{6}{{15}} = \frac{2}{5}\) (số học sinh toàn trường).

Số học sinh khối 10 nhiều hơn số học sinh khối 11 số phần so với số học sinh toàn trường là:

\(\frac{2}{5} - \frac{1}{3} = \frac{6}{{15}} - \frac{5}{{15}} = \frac{1}{{15}}\) (số học sinh toàn trường).

Số học sinh toàn trường là:

\(80:\frac{1}{{15}} = 80 \cdot 15 = 1\,\,200\) (học sinh).

Số học sinh khối 12 là:

\(1\,\,200 \cdot \frac{4}{{15}} = 320\) (học sinh).

Số học sinh khối 11 là:

\(320 \cdot \frac{5}{4} = 400\) (học sinh).

Số học sinh khối 10 là:

\(400 + 80 = 480\) (học sinh).