Cho hai biểu thức:

\(A = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{{2025}} + \frac{1}{{2026}}\) và \(B = \frac{{2025}}{1} + \frac{{2024}}{2} + \frac{{2013}}{3} + \ldots + \frac{1}{{2025}}{\rm{.\;}}\)

Tính tỉ số \(\frac{B}{A}.\)

Hướng dẫn giải:

a) Số gạo ngày thứ ba bán được chiếm số phần tổng số gạo là:

\(\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{7} = \frac{3}{{28}}\) (tổng số gạo).

Số gạo ngày thứ hai bán được chiếm số phần tổng số gạo là:

\(1 - \frac{3}{7} - \frac{3}{{28}} = \frac{{28}}{{28}} - \frac{{12}}{{28}} - \frac{3}{{28}} = \frac{{13}}{{28}}\) (tổng số gạo).

Số gạo ban đan đầu cửa hàng có là:

\(26:\frac{{13}}{{28}} = 26 \cdot \frac{{28}}{{13}} = 56\) (tấn).

b) Số gạo ngày thứ nhất cửa hàng bán được là:

\(56 \cdot \frac{3}{7} = 24\) (tấn).

Số gạo ngày thứ nhất cửa hàng bán được là:

\(24 \cdot \frac{1}{4} = 6\) (tấn).

Hướng dẫn giải:

\(B = \frac{4}{{1 \cdot 3 \cdot 5}} + \frac{4}{{3 \cdot 5 \cdot 7}} + \frac{4}{{5 \cdot 7 \cdot 9}} + ... + \frac{4}{{21 \cdot 23 \cdot 25}}\)

\( = \frac{{5 - 1}}{{1 \cdot 3 \cdot 5}} + \frac{{7 - 3}}{{3 \cdot 5 \cdot 7}} + \frac{{9 - 5}}{{5 \cdot 7 \cdot 9}} + ... + \frac{{25 - 21}}{{21 \cdot 23 \cdot 25}}\)

\[ = \frac{5}{{1 \cdot 3 \cdot 5}} - \frac{1}{{1 \cdot 3 \cdot 5}} + \frac{7}{{3 \cdot 5 \cdot 7}} - \frac{3}{{3 \cdot 5 \cdot 7}} + \frac{9}{{5 \cdot 7 \cdot 9}} - \frac{5}{{5 \cdot 7 \cdot 9}} + ... + \frac{{25}}{{21 \cdot 23 \cdot 25}} - \frac{{21}}{{21 \cdot 23 \cdot 25}}\]

\( = \frac{1}{{1 \cdot 3}} - \frac{1}{{3 \cdot 5}} + \frac{1}{{3 \cdot 5}} - \frac{1}{{5 \cdot 7}} + \frac{1}{{5 \cdot 7}} - \frac{1}{{7 \cdot 9}} + ... + \frac{1}{{21 \cdot 22}} - \frac{1}{{22 \cdot 23}}\)

\[ = \frac{1}{{1 \cdot 3}} - \frac{1}{{22 \cdot 23}} = \frac{1}{3} - \frac{1}{{506}} = \frac{{506}}{{1\,\,518}} - \frac{3}{{1\,\,518}} = \frac{{503}}{{1\,\,518}}.\]