Cho tứ giác \[ABCD.\] Gọi \[E,{\rm{ }}F,{\rm{ }}I\;\] theo thứ tự là trung điểm của \(AD,\,\,BC,\,\,AC.\) Chứng minh rằng:

a) \[EI\,{\rm{//}}\,CD\] và \[IF\,{\rm{//}}\,AB.\]      b) \[EF \le \frac{{AB + CD}}{2}.\]

a) Vì \(AD\,{\rm{//}}\,KM\) nên \(\widehat {BAD} = \widehat {BKM}\) (đồng vị).

Vì \(AD\,{\rm{//}}\,EM\) nên \(\widehat {CAD} = \widehat {CEM}\) (đồng vị).

Mà \(AD\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\) nên \(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}.\)

Do đó \(\widehat {BKM} = \widehat {CEM},\) lại có \(\widehat {CEM} = \widehat {AEK}\) nên \(\widehat {BKM} = \widehat {AEK}\) hay \(\widehat {AKE} = \widehat {AEK}.\)

⦁ Hình 1:

Ta có \(MB = AB - AM = 7 - 2 = 5.\)

Tam giác \(ABC\) có \(MN\,{\rm{//}}\,AB,\) theo định lí Thalès ta có:

\(\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{AN}}{{NC}}\) hay \(\frac{2}{5} = \frac{x}{6},\) suy ra \(x = \frac{{12}}{5}.\)

Vậy \(x = \frac{{12}}{5}.\)

Hình 1

⦁ Hình 2:

Ta có: \[EF \bot MN,\,\,NP \bot MN\] nên \[EF\,{\rm{//}}\,NP.\]

\(MP = MF + FP = 5 + 15 = 20.\)

Tam giác \[MNP\] có \[EF\,{\rm{//}}\,NP,\] theo định lí Thalès ta có:

\[\frac{{ME}}{{MN}} = \frac{{MF}}{{MP}}\] hay \(\frac{3}{y} = \frac{5}{{20}},\) suy ra \(y = \frac{{3 \cdot 20}}{5} = 12.\)

Vậy \(y = 12.\)

Hình 2

⦁ Hình 3:

Tam giác \[ABC\] có \[M,\,\,N\] lần lượt là trung điểm của \[AB\] và \[AC\] nên \[MN\] là đường trung bình của tam giác.

Do đó \[MN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 15 = 7,5\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\]

Vậy \[x = 7,5\,\,{\rm{cm}}.\]

Hình 3

⦁ Hình 4:

Tam giác \[ABC\] có \[M,\,\,N\] lần lượt là trung điểm của \[AB\] và \[AC\] nên \[MN\] là đường trung bình của tam giác.

Do đó \[MN = \frac{1}{2}BC.\]

Suy ra \[x = BC = 2MN = 2 \cdot 3,5 = 7\left( {{\rm{cm}}} \right).\]

Vậy \(x = 7{\rm{\;cm}}.\)

Hình 4

⦁ Hình 5:

Xét tam giác \[ABC\] có \[AD\] là phân giác trong góc \[\widehat {BAC}\] (do \[\widehat {BAD} = \widehat {CAD}),\] nên \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{DC}},\) hay \[\frac{{DB}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{AC}}\]

Do đó \[\frac{3}{5} = \frac{{DC}}{{8,5}},\] suy ra \[DC = \frac{{8,5 \cdot 3}}{5} = 5,1.\]

Khi đó \(x = BC = DB + DC = 3 + 5,1 = 8,1.\)

Hình 5

⦁ Hình 6:

Xét tam giác \[IKJ\] có \[IL\] là phân giác trong góc \[\widehat {KIJ}\] (do \(\widehat {KIL} = \widehat {JIL}),\) nên \(\frac{{IK}}{{IJ}} = \frac{{LK}}{{LJ}}\) hay \[\frac{{LK}}{{IK}} = \frac{{LJ}}{{IJ}}\]

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\[\frac{{LK}}{{6,2}} = \frac{{LJ}}{{8,7}} = \frac{{LK + LJ}}{{6,2 + 8,7}} = \frac{{KJ}}{{14,9}} = \frac{{12,5}}{{14,9}}.\]

Suy ra \[LJ = \frac{{12,5}}{{14,9}} \cdot 8,7 \approx 7,3.\]

Hình 6