Cho hàm số \[y = 2x + 4\] và $y=\left(m–2\right)x+m+2$ có đồ thị lần lượt là các đường thẳng \[\left( d \right)\] và \[\left( {d'} \right).\]

a) Khi \[m = 0,\] vẽ \[\left( d \right)\] và \[\left( {d'} \right)\] trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Khi \[m = 0,\] tìm giao điểm của \[\left( d \right)\] và \[\left( {d'} \right)\] bằng phép toán.

c) Tìm \[m\] để \[\left( d \right)\] song song với \[\left( {d'} \right).\]

d) Tìm \[m\] để \[\left( d \right)\] cắt \[\left( {d'} \right)\] tại một điểm thuộc trục hoành.

⦁ Xét hàm số \[y = - 2x\] có đồ thị là đường thẳng \[\left( {d'} \right).\]

Cho \(x = 0,\) ta được \(y = 0.\)

Cho \(x = - 1,\) ta được \(y = 2.\)

Đồ thị hàm số \[y = - 2x\] là đường thẳng \(\left( {d'} \right)\) đi qua hai điểm \(\left( {0;0} \right)\) và \(\left( { - 1;2} \right)\) (hình vẽ).

b) Với \(m = 0,\) ta có \[\left( {d'} \right):y = - 2x.\]

Xét hai đường thẳng \[\left( d \right):y = 2x + 4\] và \[\left( {d'} \right):y = - 2x.\]

Hai đường thẳng trên cắt nhau do có hệ số khác nhau.

Hoành độ giao điểm của hai đường thẳng trên là nghiệm của phương trình:

\(2x + 4 = - 2x\)

\(4x = 4\)

\(x = 1.\)

Thay \(x = 1\) vào hàm số \[y = - 2x\] ta được: \(y = - 2 \cdot 1 = - 2.\)

Vậy tọa độ giao điểm của \[\left( d \right)\] và \[\left( {d'} \right)\] là \(\left( {1; - 2} \right).\)

c) Để \[\left( d \right)\] song song với \[\left( {d'} \right)\] thì \(m - 2 = 2\) và \(2 \ne 4\) (luôn đúng)

Do đó \(m = 4.\)

d) Để \[\left( d \right)\] cắt \[\left( {d'} \right)\] thì \(m - 2 \ne 2,\) hay \(m \ne 4.\)

Gọi \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\) là giao điểm của hai đường thẳng trên.

Để \[\left( d \right)\] cắt \[\left( {d'} \right)\] tại điểm \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\) thuộc trục hoành thì \({y_A} = 0.\)

Thay \({y_A} = 0\) vào hàm số \[y = 2x + 4\] ta được \(0 = 2{x_A} + 4,\) suy ra \({x_A} = - 2.\)

Thay \({x_A} = - 2\) và \({y_A} = 0\) vào \[y = \left( {m--2} \right)x + m + 2\] ta được:

\(4 = \left( {m - 2} \right) \cdot \left( { - 2} \right) + m + 2\)

\( - 2m + 4 + m + 2 = 4\)

\(m = 2\) (thỏa mãn \(m \ne 4).\)

Vậy \(m = 2\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.