Giải và biện luận phương trình $\left(m^2–4\right)x=2–m$ với \(m\) là tham số.

Hướng dẫn giải

Xét phương trình \[\left( {{m^2}--4} \right)x = 2--m.\,\,\left( * \right)\]

Trường hợp 1. \({m^2} - 4 = 0,\) tức là \(\left( {m - 2} \right)\left( {m + 2} \right) = 0,\) nên \(m = 2\) hoặc \(m = - 2.\)

⦁ Nếu \(m = 2,\) thay vào phương trình \(\left( * \right),\) ta được: \(0x = 0.\) Phương trình này vô số nghiệm nên phương trình đã cho vô số nghiệm.

⦁ Nếu \(m = - 2,\) thay vào phương trình \(\left( * \right),\) ta được: \(0x = 4.\) Phương trình này vô nghiệm nên phương trình đã cho vô nghiệm.

Trường hợp 2. \({m^2} - 4 \ne 0,\) tức là \(\left( {m - 2} \right)\left( {m + 2} \right) \ne 0,\) nên \(m \ne 2\) và \(m \ne - 2.\)

Khi đó phương trình \(\left( * \right)\) có nghiệm duy nhất là:

\[x = \frac{{2--m}}{{{m^2}--4}} = \frac{{ - \left( {m - 2} \right)}}{{\left( {m - 2} \right)\left( {m + 2} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{m + 2}}.\]

Vậy với \(m = 2,\) phương trình đã cho có vô số nghiệm;

\(m = - 2,\) phương trình đã cho vô nghiệm;

\(m \ne 2\) và \(m \ne - 2,\) phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: \[x = \frac{{ - 1}}{{m + 2}}.\]