Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 8 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (Tự luận) có đáp án - Phần 1

⦁ Xét hàm số \[y = - 2x\] có đồ thị là đường thẳng \[\left( {d'} \right).\]

Cho \(x = 0,\) ta được \(y = 0.\)

Cho \(x = - 1,\) ta được \(y = 2.\)

Đồ thị hàm số \[y = - 2x\] là đường thẳng \(\left( {d'} \right)\) đi qua hai điểm \(\left( {0;0} \right)\) và \(\left( { - 1;2} \right)\) (hình vẽ).

b) Với \(m = 0,\) ta có \[\left( {d'} \right):y = - 2x.\]

Xét hai đường thẳng \[\left( d \right):y = 2x + 4\] và \[\left( {d'} \right):y = - 2x.\]

Hai đường thẳng trên cắt nhau do có hệ số khác nhau.

Hoành độ giao điểm của hai đường thẳng trên là nghiệm của phương trình:

\(2x + 4 = - 2x\)

\(4x = 4\)

\(x = 1.\)

Thay \(x = 1\) vào hàm số \[y = - 2x\] ta được: \(y = - 2 \cdot 1 = - 2.\)

Vậy tọa độ giao điểm của \[\left( d \right)\] và \[\left( {d'} \right)\] là \(\left( {1; - 2} \right).\)

c) Để \[\left( d \right)\] song song với \[\left( {d'} \right)\] thì \(m - 2 = 2\) và \(2 \ne 4\) (luôn đúng)

Do đó \(m = 4.\)

d) Để \[\left( d \right)\] cắt \[\left( {d'} \right)\] thì \(m - 2 \ne 2,\) hay \(m \ne 4.\)

Gọi \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\) là giao điểm của hai đường thẳng trên.

Để \[\left( d \right)\] cắt \[\left( {d'} \right)\] tại điểm \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\) thuộc trục hoành thì \({y_A} = 0.\)

Thay \({y_A} = 0\) vào hàm số \[y = 2x + 4\] ta được \(0 = 2{x_A} + 4,\) suy ra \({x_A} = - 2.\)

Thay \({x_A} = - 2\) và \({y_A} = 0\) vào \[y = \left( {m--2} \right)x + m + 2\] ta được:

\(4 = \left( {m - 2} \right) \cdot \left( { - 2} \right) + m + 2\)

\( - 2m + 4 + m + 2 = 4\)

\(m = 2\) (thỏa mãn \(m \ne 4).\)

Vậy \(m = 2\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Hướng dẫn giải

a) Hoành độ giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) là nghiệm của phương trình:

\( - 2x = 1,5x + 7\)

\(3,5x = - 7\)

\(x = - 2.\)

Thay \(x = - 2\) vào hàm số \(y = - 2x,\) ta được \(y = - 2 \cdot \left( { - 2} \right) = 4.\)

Vậy giao điểm của hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) là \(A\left( { - 2;4} \right).\)

b) Để \(\left( {{d_3}} \right)\) cắt \(\left( {{d_1}} \right)\) thì \( - 2m \ne - 2,\) do đó \(m \ne 1.\)

Để \(\left( {{d_3}} \right)\) cắt \(\left( {{d_2}} \right)\) thì \( - 2m \ne 1,5,\) do đó \(m \ne - \frac{3}{4}.\)

Khi đó ba đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)\) và \(\left( {{d_3}} \right)\) cắt nhau tại một điểm thì đường thẳng \(\left( {{d_3}} \right)\) đi qua giao điểm \(A\left( { - 2;4} \right)\) của hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right).\)

Do đó \(4 = - 2m \cdot \left( { - 2} \right) + 5\)

\(4m = - 1\)

\(m = - \frac{1}{4}\) (thỏa mãn).

Vậy \(m = - \frac{1}{4}\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Hướng dẫn giải

a) Đồ thị hàm số \[y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\] đi qua điểm \[A\left( {3;--1} \right)\] nên ta có:

\[ - 1 = a \cdot 3 + b,\] do đó \(b = - 3a - 1.\)

Đồ thị hàm số \[y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\] đi qua điểm \[B\left( {2;--5} \right)\] nên ta có:

\[ - 5 = a \cdot 2 + b\,\,\left( * \right)\]

Thay \(b = - 3a - 1\) vào \(\left( * \right)\) ta được:

\[ - 5 = a \cdot 2 - 3a - 1\]

\(a = 4.\)

Suy ra \(b = - 3 \cdot 4 - 1 = - 13.\)

Vậy \(a = 4\) và \(b = - 13.\)

b) Đồ thị hàm số \[y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\] cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 nên ta có:

\(5 = a \cdot 0 + b,\) do đó \(b = 5.\) Khi đó ta có hàm số \(y = ax + 5.\)

Đồ thị hàm số \[y = ax + 5{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\] cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng \( - 1\) nên ta có: \(0 = a \cdot \left( { - 1} \right) + 5,\) do đó \(a = 5.\)

Vậy \(a = 5\) và \(b = 5.\)

c) Do đồ thị hàm số \[y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\] song song với đường thẳng \(y = \frac{3}{2}x - 24,\) nên ta có \(a = \frac{3}{2}\) và \(b \ne - 24.\) Khi đó ta có hàm số \[y = \frac{3}{2}x + b{\rm{ }}\left( {b \ne - 24} \right).\]

Hoành độ giao điểm của \[\left( {{d_1}} \right):y = x + 1\] và \[\left( {{d_2}} \right):y = 2x--3\] là nghiệm của phương trình: \(x + 1 = 2x - 3\)

\(x = 4.\)

Thay \(x = 4\) vào hàm số \(y = x + 1\) ta được \(y = 4 + 1 = 5.\)

Do đó hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) cắt nhau tại điểm \(\left( {4;5} \right).\)

Do đường thẳng \[y = \frac{3}{2}x + b{\rm{ }}\left( {b \ne - 24} \right)\] đi qua điểm \(\left( {4;5} \right)\) nên ta có:

\[5 = \frac{3}{2} \cdot 4 + b,\] do đó \(b = - 1\) (thỏa mãn).

Vậy \(a = \frac{3}{2}\) và \(b = - 1.\)

d) Do đường thẳng \[y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\] vuông góc với đường thẳng \(y = - \frac{1}{4}x + 9\) nên ta có \(a \cdot \left( { - \frac{1}{4}} \right) = - 1,\) suy ra \(a = 4\) (thỏa mãn). Khi đó ta có hàm số \(y = 4x + b.\)

Đường thẳng \(y = 4x + b\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 nên ta có:

\(5 = 4 \cdot 0 + b,\) do đó \(b = 5.\)

Vậy \(a = 4\) và \(b = 5.\)

Hướng dẫn giải

a) Để đường thẳng \[y = \left( {3--2m} \right)x + m + 4\] song song với trục hoành thì \(3 - 2m = 0\) và \(m + 4 \ne 0.\)

Do đó \(m = \frac{3}{2}\) và \(m \ne - 4.\)

Vậy \(m = \frac{3}{2}\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

b) Gọi \(I\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm cố định mà đường thẳng \[y = \left( {3--2m} \right)x + m + 4\] luôn đi qua với mọi giá trị của \[m.\]

Khi đó tọa độ điểm \(I\) thỏa mãn hàm số \[y = \left( {3--2m} \right)x + m + 4\] với mọi giá trị của \[m.\]

Tức là, \[{y_0} = \left( {3--2m} \right){x_0} + m + 4\] đúng với mọi \(m\)

\[{y_0} = 3{x_0}--2m{x_0} + m + 4\] đúng với mọi \(m\)

\[\left( {2{x_0} - 1} \right)m = 3{x_0} - {y_0} + 4\] đúng với mọi \(m\)

Điều này xảy ra khi và chỉ khi \[2{x_0} - 1 = 0\] và \[3{x_0} - {y_0} + 4 = 0\]

Tức là \({x_0} = \frac{1}{2}\) và \({y_0} = 3{x_0} + 4 = 3 \cdot \frac{1}{2} + 4 = \frac{{11}}{2}.\)

Vậy điểm cố định mà đồ thị hàm số trên luôn đi qua với mọi giá trị của \[m\] là \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{{11}}{2}} \right).\)

c) Để hai đường thẳng \[y = \left( {3--2m} \right)x + m + 4\] và \[y = 2x - 2{m^2} + 2m + 4\] cắt nhau thì \(3 - 2m \ne 2,\) do đó \(m \ne \frac{1}{2}.\)

Hoành độ giao điểm \(M\) của hai đường thẳng \[y = \left( {3--2m} \right)x + m + 4\] và \[y = 2x - 2{m^2} + 2m + 4\] là nghiệm của phương trình:

\[\left( {3--2m} \right){x_M} + m + 4 = 2{x_M} - 2{m^2} + 2m + 4\]

\[\left( {3--2m - 2} \right){x_M} + m + 4 + 2{m^2} - 2m - 4 = 0\]

\[\left( {1--2m} \right){x_M} + 2{m^2} - m = 0\] \(\left( * \right)\)

Vì \(m \ne \frac{1}{2}\) nên ta có \(1 - 2m \ne 0,\) khi đó từ \(\left( * \right)\) ta có:

\[{x_M} = - \frac{{2{m^2} - m}}{{1--2m}} = \frac{{m\left( {2m - 1} \right)}}{{2m - 1}} = m.\]

Thay \[{x_M} = m\] vào hàm số \[y = 2x + 1--m,\] ta được: \[{y_M} = 2 \cdot m + 1--m = m + 1.\]

Do đó \({y_M} = {x_M} + 1.\)

Vậy giao điểm \(M\) của hai đồ thị đã cho là một điểm nằm trên đường thẳng \(y = x + 1.\)