Cho ba đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = - 2x,\) \(\left( {{d_2}} \right):y = 1,5x + 7\) và \(\left( {{d_3}} \right):y = - 2mx + 5.\)

a) Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right).\)

b) Tìm các giá trị của tham số \(m\) để ba đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)\) và \(\left( {{d_3}} \right)\) cắt nhau tại một điểm.

Hướng dẫn giải

Xét phương trình \(2\left( {x - 1} \right) - mx = 3\)

 \(2x - 2 - mx = 3\)

 \(\left( {2 - m} \right)x = 5\)

a) Để phương trình đã cho vô nghiệm thì phương trình \(\left( {2 - m} \right)x = 5\) vô nghiệm, hay nó có dạng \(0x = b\) với \(b \ne 0,\) điều này xảy ra khi và chỉ khi \(2 - m = 0,\) hay \(m = 2.\)

b) Để phương trình đã cho vô số nghiệm thì phương trình \(\left( {2 - m} \right)x = 5\) vô số nghiệm, hay nó có dạng \(0x = 0,\) điều này là vô lí.

Vậy không có giá trị nào của \(m\) để phương trình vô số nghiệm.

c) Để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì phương trình \(\left( {2 - m} \right)x = 5\) có nghiệm duy nhất, hay nó có dạng \(ax = b\) với \(a \ne 0,\) điều này xảy ra khi và chỉ khi \(2 - m \ne 0,\) hay \(m \ne 2.\)

l) \(x - \frac{{x + \frac{{x + 1}}{5}}}{3} = 1 - \frac{{\frac{{1 - 2x}}{3}}}{5}\)

\(x - \frac{{5x + x + 1}}{5} \cdot \frac{1}{3} = 1 - \frac{{1 - 2x}}{3} \cdot \frac{1}{5}\)

\(x - \frac{{6x + 1}}{{15}} = 1 - \frac{{1 - 2x}}{{15}}\)

\[\frac{{15x - \left( {6x + 1} \right)}}{{15}} = \frac{{15 - \left( {1 - 2x} \right)}}{{15}}\]

\[15x - 6x - 1 = 15 - 1 + 2x\]

\[15x - 6x - 2x = 15 - 1 + 1\]

\[7x = 15\]

\(x = \frac{{15}}{7}.\)