Cho ba đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = - 2x,\) \(\left( {{d_2}} \right):y = 1,5x + 7\) và \(\left( {{d_3}} \right):y = - 2mx + 5.\)

a) Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right).\)

b) Tìm các giá trị của tham số \(m\) để ba đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)\) và \(\left( {{d_3}} \right)\) cắt nhau tại một điểm.

Hướng dẫn giải

Xét phương trình \[\left( {{m^2}--4} \right)x = 2--m.\,\,\left( * \right)\]

Trường hợp 1. \({m^2} - 4 = 0,\) tức là \(\left( {m - 2} \right)\left( {m + 2} \right) = 0,\) nên \(m = 2\) hoặc \(m = - 2.\)

⦁ Nếu \(m = 2,\) thay vào phương trình \(\left( * \right),\) ta được: \(0x = 0.\) Phương trình này vô số nghiệm nên phương trình đã cho vô số nghiệm.

⦁ Nếu \(m = - 2,\) thay vào phương trình \(\left( * \right),\) ta được: \(0x = 4.\) Phương trình này vô nghiệm nên phương trình đã cho vô nghiệm.

Trường hợp 2. \({m^2} - 4 \ne 0,\) tức là \(\left( {m - 2} \right)\left( {m + 2} \right) \ne 0,\) nên \(m \ne 2\) và \(m \ne - 2.\)

Khi đó phương trình \(\left( * \right)\) có nghiệm duy nhất là:

\[x = \frac{{2--m}}{{{m^2}--4}} = \frac{{ - \left( {m - 2} \right)}}{{\left( {m - 2} \right)\left( {m + 2} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{m + 2}}.\]

Vậy với \(m = 2,\) phương trình đã cho có vô số nghiệm;

\(m = - 2,\) phương trình đã cho vô nghiệm;

\(m \ne 2\) và \(m \ne - 2,\) phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: \[x = \frac{{ - 1}}{{m + 2}}.\]

g) \(\frac{{7x - 1}}{6} = \frac{{16 - x}}{5} - 2x\)

\(\frac{{5\left( {7x - 1} \right)}}{{30}} = \frac{{6\left( {16 - x} \right)}}{{30}} - \frac{{2x \cdot 30}}{{30}}\)

\(35x - 5 = 96 - 6x - 60x\)

\(35x + 6x + 60x = 96 + 5\)

\(101x = 101\)

 \(x = 1.\)