10 Bài tập Chứng minh các hệ thức hình học (có lời giải)

Xét tam giác ADB có MP // AB nên theo định lí Thalès ta có:

\(\frac{{{\rm{MD}}}}{{{\rm{AD}}}} = \frac{{{\rm{DP}}}}{{{\rm{BD}}}}\)(1)

Xét tam giác CDB có NP // DC nên theo định lí Thalès ta có:

\(\frac{{{\rm{DP}}}}{{{\rm{BD}}}} = \frac{{{\rm{CN}}}}{{{\rm{CB}}}}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{{\rm{MD}}}}{{{\rm{AD}}}} = \frac{{{\rm{CN}}}}{{{\rm{CB}}}} = \frac{{{\rm{DP}}}}{{{\rm{BD}}}}\).

Xét tam giác ACE có CE // BD nên theo định lí Thalès ta có:

\(\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{AC}}}} = \frac{{{\rm{AD}}}}{{{\rm{AE}}}}\)(1)

Xét tam giác AFE có FE // CD nên theo định lí Thalès ta có:

\(\frac{{{\rm{AC}}}}{{{\rm{AF}}}} = \frac{{{\rm{AD}}}}{{{\rm{AE}}}}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{AC}}}} = \frac{{{\rm{AC}}}}{{{\rm{AF}}}} = \frac{{{\rm{AD}}}}{{{\rm{AE}}}}\).

Từ đó ta có AC ⋅ AC = AB ⋅ AF hay AC² = AB ⋅ AF.

Trong tam giác ABC có \(\frac{{{\rm{AD}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{{{\rm{AE}}}}{{{\rm{AC}}}}\) nên DE // BC (định lí Thalès đảo).

Do đó theo định lí Thalès ta có \(\frac{{{\rm{AD}}}}{{{\rm{DB}}}} = \frac{{{\rm{AE}}}}{{{\rm{EC}}}}\), \(\frac{{{\rm{BD}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{{{\rm{CE}}}}{{{\rm{AC}}}}\).

Vậy C sai.

Kẻ DH // CI (H ∈ AB), do đó DH // IO.

Xét tam giác ADH có DH // IO nên theo định lí Thalès ta có:

\(\frac{{{\rm{AI}}}}{{{\rm{IH}}}} = \frac{{{\rm{AO}}}}{{{\rm{OD}}}}\) hay \(\frac{{{\rm{AI}}}}{{{\rm{IH}}}} = \frac{3}{2}\).

Suy ra AI = 3t và IH = 2t (với t > 0).

Ta có D thuộc cạnh BC và BC = 2BD, suy ra BC = 2CD.

Xét tam giác BIC có DH // IC nên theo định lí Thalès ta có:

\(\frac{{{\rm{BI}}}}{{{\rm{IH}}}} = \frac{{{\rm{BC}}}}{{{\rm{CD}}}}\) hay \(\frac{{{\rm{BI}}}}{{{\rm{IH}}}} = \frac{2}{1}\)

Suy ra BI = 2IH = 2 ⋅ 2t = 4t.

Vậy \(\frac{{{\rm{AI}}}}{{{\rm{IB}}}} = \frac{{{\rm{3t}}}}{{{\rm{4t}}}} = \frac{3}{4}\).

Xét tứ giác ADEF có:

AD // EF (D ∈ AB)

AF // DE (F ∈ AC)

Suy ra tứ giác ADEF là hình bình hành.

Do đó AF = DE (1).

Xét tam giác ABC có EF // AB nên theo định lí Thalès ta có:

\(\frac{{{\rm{CE}}}}{{{\rm{EB}}}} = \frac{{{\rm{CF}}}}{{{\rm{FA}}}}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{{\rm{CE}}}}{{{\rm{EB}}}} = \frac{{{\rm{CF}}}}{{{\rm{DE}}}}\).

Ta có AN ⊥ BC (do H là trực tâm của tam giác ABC) nên HN ⊥ CM (H ∈ AN, M ∈ BC).

Theo đề bài ta có IK // DC, IK ⊥ HM, do đó HM ⊥ DC hay HM ⊥ NC (N ∈ DC).

Tam giác HNC có: HM ⊥ NC, CM ⊥ HN.

Do đó M là trực tâm của tam giác HNC.

Suy ra MN ⊥ HC.

Lại có HC ⊥ AB nên MN // AB hay MN // DB.

Xét tam giác CBD có MN // DB nên theo định lí Thalès ta có:

 \(\frac{{{\rm{CM}}}}{{{\rm{MB}}}} = \frac{{{\rm{CN}}}}{{{\rm{ND}}}}\) hay \(\frac{{{\rm{CN}}}}{{{\rm{ND}}}} = 1\) (Vì CM = MB, do M là trung điểm của BC)

Suy ra CN = ND.