Cho hàm số $y=\left(3–2m\right)x+m+4.$

a) Tìm \[m\] để đồ thị hàm số trên là một đường thẳng song song với trục hoành.

b) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số trên luôn đi qua với mọi giá trị của \[m.\]

c) Gọi \[M\] là giao điểm của đồ thị hàm số trên và đường thẳng \[y = 2x - 2{m^2} + 2m + 4.\] Tìm quỹ tích của \[M\] khi \[m\] thay đổi.

g) \(\frac{{7x - 1}}{6} = \frac{{16 - x}}{5} - 2x\)

\(\frac{{5\left( {7x - 1} \right)}}{{30}} = \frac{{6\left( {16 - x} \right)}}{{30}} - \frac{{2x \cdot 30}}{{30}}\)

\(35x - 5 = 96 - 6x - 60x\)

\(35x + 6x + 60x = 96 + 5\)

\(101x = 101\)

 \(x = 1.\)

Hướng dẫn giải

a) Đồ thị hàm số \[y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\] đi qua điểm \[A\left( {3;--1} \right)\] nên ta có:

\[ - 1 = a \cdot 3 + b,\] do đó \(b = - 3a - 1.\)

Đồ thị hàm số \[y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\] đi qua điểm \[B\left( {2;--5} \right)\] nên ta có:

\[ - 5 = a \cdot 2 + b\,\,\left( * \right)\]

Thay \(b = - 3a - 1\) vào \(\left( * \right)\) ta được:

\[ - 5 = a \cdot 2 - 3a - 1\]

\(a = 4.\)

Suy ra \(b = - 3 \cdot 4 - 1 = - 13.\)

Vậy \(a = 4\) và \(b = - 13.\)

b) Đồ thị hàm số \[y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\] cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 nên ta có:

\(5 = a \cdot 0 + b,\) do đó \(b = 5.\) Khi đó ta có hàm số \(y = ax + 5.\)

Đồ thị hàm số \[y = ax + 5{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\] cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng \( - 1\) nên ta có: \(0 = a \cdot \left( { - 1} \right) + 5,\) do đó \(a = 5.\)

Vậy \(a = 5\) và \(b = 5.\)

c) Do đồ thị hàm số \[y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\] song song với đường thẳng \(y = \frac{3}{2}x - 24,\) nên ta có \(a = \frac{3}{2}\) và \(b \ne - 24.\) Khi đó ta có hàm số \[y = \frac{3}{2}x + b{\rm{ }}\left( {b \ne - 24} \right).\]

Hoành độ giao điểm của \[\left( {{d_1}} \right):y = x + 1\] và \[\left( {{d_2}} \right):y = 2x--3\] là nghiệm của phương trình: \(x + 1 = 2x - 3\)

\(x = 4.\)

Thay \(x = 4\) vào hàm số \(y = x + 1\) ta được \(y = 4 + 1 = 5.\)

Do đó hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) cắt nhau tại điểm \(\left( {4;5} \right).\)

Do đường thẳng \[y = \frac{3}{2}x + b{\rm{ }}\left( {b \ne - 24} \right)\] đi qua điểm \(\left( {4;5} \right)\) nên ta có:

\[5 = \frac{3}{2} \cdot 4 + b,\] do đó \(b = - 1\) (thỏa mãn).

Vậy \(a = \frac{3}{2}\) và \(b = - 1.\)

d) Do đường thẳng \[y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\] vuông góc với đường thẳng \(y = - \frac{1}{4}x + 9\) nên ta có \(a \cdot \left( { - \frac{1}{4}} \right) = - 1,\) suy ra \(a = 4\) (thỏa mãn). Khi đó ta có hàm số \(y = 4x + b.\)

Đường thẳng \(y = 4x + b\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 nên ta có:

\(5 = 4 \cdot 0 + b,\) do đó \(b = 5.\)

Vậy \(a = 4\) và \(b = 5.\)