Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 8 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (Tự luận) có đáp án - Phần 2

Hướng dẫn giải

Gọi vận tốc của tàu hỏa thứ nhất là \(x\) (km/h) \(\left( {x > 0} \right).\)

Vận tốc của tàu hỏa thứ hai là \(x - 5\) (km/h).

Sau 4 giờ 48 phút \( = 4,8\) giờ thì tàu thứ nhất đi được quãng đường là: \(4,8x\) (km).

Vì tàu hỏa thứ hai khởi hành sau tàu hỏa thứ nhất 1 giờ 48 phút \( = 1,8\) giờ nên thời gian tàu hỏa thứ hai đã đi là \(4,8 - 1,8 = 3\) (giờ). Khi đó quãng đường tàu hỏa thứ hai đã đi là: \(3\left( {x - 5} \right)\) (km).

Vì ga Nam Định nằm trên đường từ Hà Nội đi TP Hồ Chí Minh và cách ga Hà Nội 87 km nên ta có phương trình:

\(4,8x = 3\left( {x - 5} \right) + 87\)

\(4,8x = 3x - 15 + 87\)

\(4,8x - 3x = - 15 + 87\)

\(1,8x = 72\)

\(x = 40\) (thỏa mãn).

Vậy vận tốc của tàu hỏa thứ nhất là \(40\) km/h, vận tốc của tàu hỏa thứ hai là \(40 - 5 = 35\) km/h.

Hướng dẫn giải

Đổi 1 giờ 20 phút \[ = \frac{4}{3}\] giờ.

Gọi vận tốc riêng của ca nô là \[x\] (km/h) \[\left( {x > 3} \right).\]

Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là \[x + 3\] (km/h).

Vận tốc của ca nô khi ngược dòng là \[x - 3\] (km/h).

Quãng đường ca nô khi xuôi dòng là \[\frac{4}{3}\left( {x + 3} \right)\] (km).

Quãng đường ca nô khi ngược dòng là \[2\left( {x--3} \right)\](km).

Vì quãng đường ca nô khi xuôi dòng và ngược dòng bằng nhau nên ta có phương trình:

\[\frac{4}{3}\left( {x + 3} \right) = 2\left( {x - 3} \right)\]

\[4\left( {x + 3} \right) = 6\left( {x - 3} \right)\]

\[4x + 12 = 6x - 18\]

\[4x - 6x = - 18 - 12\]

\[ - 2x = - 30\]

\[x = 15\] (thỏa mãn).

Vậy vận tốc riêng của ca nô là \[15\] km/h.

Hướng dẫn giải

Gọi \(x\) là số thứ nhất thì số thứ hai là \(100 - x.\)

Khi tăng số thứ nhất lên 2 lần thì số thứ nhất lúc này là \(2x.\)

Khi cộng thêm số thứ hai 5 đơn vị thì số thứ hai lúc này là \(100 - x + 5 = 105 - x.\)

Khi đó, số thứ nhất gấp 5 lần số thứ hai nên ta có phương trình:

\(2x = 5\left( {105 - x} \right)\).

\(2x = 525 - 5x\)

\(2x + 5x = 525\)

\(7x = 525\)         \[\]

\(x = 75\) (thỏa mãn).

Khi đó số thứ nhất là 75, số thứ hai là \(100 - 75 = 25.\)

Vậy hai số cần tìm là: 75 và 25.

Hướng dẫn giải

Gọi \(x\) là chữ số hàng chục của số cần tìm \((x \in \mathbb{N}\) và \(0 < x \le 9).\)

Vì số tự nhiên cần tìm là số chia hết cho 5 nên chữ số hàng đơn vị có thể là 0 hoặc 5.

Mà số tự nhiên này là số lẻ nên chữ số hàng đơn vị của nó chỉ có thể là 5.

Độ lớn của số cần tìm là: \(\overline {x5} = 10x + 5.\)

Vì hiệu của số đó và chữ số hàng chục bằng 86 nên ta có phương trình:

\(10x + 5 - x = 86\)

\(9x = 81\)

\(x = 9\) (thỏa mãn).

Vậy số cần tìm là: 95.

Hướng dẫn giải

Gọi \(x\) là chữ số hàng chục của số cần tìm \((x \in \mathbb{N}\) và \(0 < x \le 9).\)

Khi đó chữ số hàng đơn vị là: \(12 - x.\)

Độ lớn số ban đầu là: \[10x + \left( {12 - x} \right).\]

Khi đổi chỗ hai chữ số đó cho nhau thì số mới có chữ số hàng chục là: \(12 - x\) và chữ số hàng đơn vị là \(x.\) Số mới có độ lớn là: \(10\left( {12 - x} \right) + x.\)

Sau khi đổi chỗ thì số mới bé hơn số ban đầu là 18 đơn vị nên ta có phương trình:

\(\left[ {10x + \left( {12 - x} \right)} \right] - \left[ {10\left( {12 - x} \right) + x} \right] = 18\)

\(10x + 12 - x - 120 + 10x - x = 18\)

\[10x - x + 10x - x = 18 - 12 + 120\]

\(18x = 126\)

\(x = 7\) (thỏa mãn).

Khi số cần tìm có chữ số hàng chục là 7 và chữ số hàng đơn vị là \(12 - 7 = 5.\)

Vậy số cần tìm là: 75.

Hướng dẫn giải

Gọi số tấn thóc thu hoạch theo dự định là \(x\) (tấn) \(\left( {x > 0} \right).\)

Số ngày để thu hoạch hết số thóc theo dự định là \(\frac{x}{{20}}\) (ngày).

Số tấn thóc thực tế thu hoạch được là \(x + 10\) (tấn).

Số tấn thóc thực tế mỗi ngày thu hoạch được là \(20 + 6 = 26\) (tấn).

Số ngày thu hoạch hết số thóc theo thực tế là \(\frac{{x + 10}}{{26}}\) (ngày).

Vì hoàn thành kế hoạch trước 1 ngày nên ta có phương trình:

\(\frac{x}{{20}} - 1 = \frac{{x + 10}}{{26}}\)

\(\frac{{13x}}{{260}} - \frac{{260}}{{260}} = \frac{{10\left( {x + 10} \right)}}{{260}}\)

\(13x - 260 = 10x + 100\)

\(13x - 10x = 100 + 260\)

\(3x = 360\)

\(x = 120\) (thỏa mãn).

Vậy số thóc theo dự định là 120 tấn.

Hướng dẫn giải

Gọi nồng độ muối trong dung dịch I là \[x\,\,\left( \% \right)\] \(\left( {x > 0} \right).\)

Khi đó khối lượng muối có trong dung dịch I là: \(200 \cdot \frac{x}{{100}} = 2x\) (g).

Do nồng độ muối trong dung dịch I lớn hơn nồng độ muối trong dung dịch II là 20% nên nồng độ muối trong dung dịch II là \(x - 20\,\,\left( \% \right).\)

Khi đó khối lượng muối có trong dung dịch II là: \(300 \cdot \frac{{x - 20}}{{100}} = 3\left( {x - 20} \right)\) (g).

Khối lượng muối trong dung dịch sau khi trộn hai dung dịch là: \(2x + 3\left( {x - 20} \right)\) (g).

Khối lượng dung dịch muối sau khi trộn hai dung dịch là: \(200 + 300 = 500\) (g).

Do sau khi trộn hai dung dịch I và II thì được một dung dịch có nồng độ muối là 33% nên ta có phương trình: \(\frac{{2x + 3\left( {x - 20} \right)}}{{500}} \cdot 100\% = 33\% \)

\(2x + 3x - 60 = 33 \cdot 5\)

\(5x = 225\)

\(x = 45\) (thỏa mãn).

Vậy nồng độ muối của dung dịch I và II lần lượt là \(45\% \) và \(25\% .\)

Hướng dẫn giải

Gọi trọng lượng bạc trong mũ \(x\) (Newton) \(\left( {0 < x < 5} \right).\)

Trọng lượng vàng trong mũ là \(5 - x\) (Newton).

Khi nhúng ngập trong nước, trọng lượng bạc giảm \(\frac{x}{{10}}\) (Newton), trọng lượng vàng giảm \(\frac{{5 - x}}{{20}}\) (Newton).

Mà trọng lượng của mũ giảm đi 0,3 Newton nên ta có phương trình:

\(\frac{x}{{10}} + \frac{{5 - x}}{{20}} = 0,3\)

\(\frac{{2x}}{{20}} + \frac{{5 - x}}{{20}} = \frac{{0,3 \cdot 20}}{{20}}\)

\(2x + 5 - x = 6\)

\(x = 1\) (thỏa mãn).

Do đó trọng lượng bạc trong mũ là 1 Newton.

Vậy chiếc mũ chứa 100 gam bạc.