Câu hỏi:

04/12/2025 7

Cho hình thang $ABCD$ có hai đáy $AB$ và $CD.$ Gọi $M$ là trung điểm của $CD,$ $E$ là giao điểm của $MA$ và $BD,$ $F$ là giao điểm của $MB$ và $AC.$

a) Chứng minh rằng \[EF\,{\rm{//}}\,AB.\]

b) Đường thẳng $EF$ cắt $AD,\,\,BC$ lần lượt tại $H$ và $N.$ Chứng minh $HE = EF = FN.$

c) Biết $AB = 7,5{\rm{\;cm}},\,\,CD = 12{\rm{\;cm}}.$ Tính độ dài $HN.$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 8 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Vì $ABCD$ là hình thang có hai đáy $AB$ và $CD$ nên $AB\,{\rm{//}}\,CD.$

Vì $AB\,{\rm{//}}\,DM$ (do $AB\,{\rm{//}}\,CD),$ nên theo hệ quả định lí Thalès ta có $\frac{{AE}}{{EM}} = \frac{{AB}}{{DM}}.$ $\left( 1 \right)$

Vì $AB\,{\rm{//}}\,MC$ (do $AB\,{\rm{//}}\,CD),$ nên theo hệ quả

$Cho hình thang $ABCD$ có hai đáy \(AB (ảnh 1)$

định lí Thalès ta có $\frac{{BF}}{{FM}} = \frac{{AB}}{{MC}}.$ $\left( 2 \right)$

Lại có $M$ là trung điểm của $CD$ nên $DM = MC.$ $\left( 3 \right)$

Từ $\left( 1 \right),$ $\left( 2 \right)$ và $\left( 3 \right)$ ta có $\frac{{AE}}{{EM}} = \frac{{BF}}{{FM}},$ theo định lí Thalès đảo ta có $EF\,{\rm{//}}\,AB.$

b) Xét $\Delta ADM$ có $HE\,{\rm{//}}\,DM,$ theo hệ quả định lí Thalès ta có $\frac{{HE}}{{DM}} = \frac{{AE}}{{AM}}.$

Xét $\Delta AMC$ có $EF\,{\rm{//}}\,MC,$ theo hệ quả định lí Thalès ta có \[\frac{{EF}}{{MC}} = \frac{{AE}}{{AM}}.\]

Do đó $\frac{{HE}}{{DM}} = \frac{{EF}}{{MC}},$ mà $DM = MC$ nên $HE = EF.$

Chứng minh tương tự ta cũng có $EF = FN.$ Suy ra $HE = EF = FN.$

c) Vì $M$ là trung điểm của $CD$ nên $DM = MC = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6{\rm{\;cm}}.$

Theo câu a, ta có $\frac{{AE}}{{EM}} = \frac{{AB}}{{DM}} = \frac{{7,5}}{6} = \frac{5}{4}.$ Suy ra $\frac{{AE}}{5} = \frac{{EM}}{4}.$

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: $\frac{{AE}}{5} = \frac{{EM}}{4} = \frac{{AE + EM}}{{5 + 4}} = \frac{{AM}}{9}.$

Do đó $\frac{{AE}}{{AM}} = \frac{5}{9}.$

Mà theo câu b, $\frac{{HE}}{{DM}} = \frac{{AE}}{{AM}} = \frac{5}{9}.$

Suy ra $HE = \frac{5}{9}DM = \frac{5}{9} \cdot 6 = \frac{{10}}{3}{\rm{\;cm}}.$

Vậy $HN = 3HE = 3 \cdot \frac{{10}}{3} = 10{\rm{\;cm}}.$

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A\,\,\left( {AB < AC} \right).$ Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $BC.$ Qua $I$ vẽ $IN$ vuông góc với $AC$ tại $N.$ Lấy điểm $D$ sao cho $N$ là trung điểm của $ID.$

a) Chứng minh $N$ là trung điểm của $AC$ và tứ giác $ADCI$ là hình thoi.

c) Đường thẳng $BN$ cắt cạnh $DC$ tại $K.$ Chứng minh $\frac{{DK}}{{DC}} = \frac{1}{3}.$

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

a) Xét $\Delta ABC$ có $AB \bot AC;\,\,IN \bot AC$ nên $AB\,{\rm{//}}\,IN.$

Mà $I$ là trung điểm của $BC$ nên $IN$ là đường trung bình của tam giác, do đó $N$ là trung điểm của $AC.$

Xét tứ giác $ADCI$ có: $N$ là trung điểm của $ID,\,\,AC$ nên $ADCI$ là hình bình hành.

$Cho tam giác $ABC$ vuông tại \(A (ảnh 1)$

Lại có $IN \bot AC$ hay $ID \bot AC$ nên hình bình hành $ADCI$ là hình thoi.

b) Kẻ $IH\,{\rm{//}}\,BK\,\,\left( {H \in CD} \right),$ mà $I$ là trung điểm của $BC,$ nên $IH$ là đường trung bình của $\Delta BKC.$ Do đó $H$ là trung điểm của $KC$ hay $KH = HC\,\,\left( 1 \right)$

Xét \[\Delta DIH\] có $N$ là trung điểm của \[DI\] và \[NK\,{\rm{//}}\,IH\] (do \[BK\,{\rm{//}}\,IH)\] nên $NK$ là đường trung bình của \[\Delta DIH,\] suy ra $K$là trung điểm của $DH$ hay $DK = KH\,\,\left( 2 \right)$

$Cho tam giác $ABC$ vuông tại \(A (ảnh 2)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $DK = KH = HC.$ Do đó $\frac{{DK}}{{DC}} = \frac{1}{3}.$

Câu 2

Cho tam giác $ABC$ có $AB < AC.$ Tia phân giác $\widehat {BAC}$ cắt cạnh $BC$ tại điểm $D.$ Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC.$ Qua điểm $M$ kẻ đường thẳng song song với đường thẳng $AD$ cắt các đường thẳng $AC,\,\,AB$ lần lượt tại $E$ và $K.$ Chứng minh rằng:

a) Tam giác $AEK$ cân.

b) $\frac{{AK}}{{EC}} = \frac{{DM}}{{MB}}.$

c) $BK = EC.$

Xem đáp án

Lời giải

a) Vì $AD\,{\rm{//}}\,KM$ nên $\widehat {BAD} = \widehat {BKM}$ (đồng vị).

Vì $AD\,{\rm{//}}\,EM$ nên $\widehat {CAD} = \widehat {CEM}$ (đồng vị).

Mà $AD$ là tia phân giác của $\widehat {BAC}$ nên $\widehat {BAD} = \widehat {CAD}.$

Do đó $\widehat {BKM} = \widehat {CEM},$ lại có $\widehat {CEM} = \widehat {AEK}$ nên $\widehat {BKM} = \widehat {AEK}$ hay $\widehat {AKE} = \widehat {AEK}.$

$Cho tam giác $ABC$ có \(AB < AC (ảnh 1)$

Tam giác $AEK$ có $\widehat {AKE} = \widehat {AEK}$ nên là tam giác cân tại $A.$

b) Xét $\Delta ACD$ có $EM\,{\rm{//}}\,AD,$ theo định lí Thalès ta có $\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{DM}}{{MC}}.$

Mà $\Delta AEK$ cân tại $A$ nên $AK = AE.$

Lại có điểm $M$ là trung điểm của $BC$ nên $MB = MC.$

Do đó $\frac{{AK}}{{EC}} = \frac{{DM}}{{MB}}.$

c) Xét $\Delta BMK$ có $AD\,{\rm{//}}\,KM,$ theo định lí Thalès ta có $\frac{{DM}}{{BM}} = \frac{{AK}}{{BK}}.$

Theo câu a, ta có $\frac{{AK}}{{EC}} = \frac{{DM}}{{MB}}$ nên $\frac{{AK}}{{EC}} = \frac{{AK}}{{BK}},$ do đó $EC = BK.$

Câu 3