Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\,\,\left( {AB < AC} \right).\) Gọi \(I\) là trung điểm của cạnh \(BC.\) Qua \(I\) vẽ \(IN\) vuông góc với \(AC\) tại \(N.\) Lấy điểm \(D\) sao cho \(N\) là trung điểm của \(ID.\)
a) Chứng minh \(N\) là trung điểm của \(AC\) và tứ giác \(ADCI\) là hình thoi.
c) Đường thẳng \(BN\) cắt cạnh \(DC\) tại \(K.\) Chứng minh \(\frac{{DK}}{{DC}} = \frac{1}{3}.\)
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\,\,\left( {AB < AC} \right).\) Gọi \(I\) là trung điểm của cạnh \(BC.\) Qua \(I\) vẽ \(IN\) vuông góc với \(AC\) tại \(N.\) Lấy điểm \(D\) sao cho \(N\) là trung điểm của \(ID.\)
a) Chứng minh \(N\) là trung điểm của \(AC\) và tứ giác \(ADCI\) là hình thoi.
c) Đường thẳng \(BN\) cắt cạnh \(DC\) tại \(K.\) Chứng minh \(\frac{{DK}}{{DC}} = \frac{1}{3}.\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
|
a) Xét \(\Delta ABC\) có \(AB \bot AC;\,\,IN \bot AC\) nên \(AB\,{\rm{//}}\,IN.\) Mà \(I\) là trung điểm của \(BC\) nên \(IN\) là đường trung bình của tam giác, do đó \(N\) là trung điểm của \(AC.\) Xét tứ giác \(ADCI\) có: \(N\) là trung điểm của \(ID,\,\,AC\) nên \(ADCI\) là hình bình hành. |
|
Lại có \(IN \bot AC\) hay \(ID \bot AC\) nên hình bình hành \(ADCI\) là hình thoi.\(\)
|
b) Kẻ \(IH\,{\rm{//}}\,BK\,\,\left( {H \in CD} \right),\) mà \(I\) là trung điểm của \(BC,\) nên \(IH\) là đường trung bình của \(\Delta BKC.\) Do đó \(H\) là trung điểm của \(KC\) hay \(KH = HC\,\,\left( 1 \right)\) Xét \[\Delta DIH\] có \(N\) là trung điểm của \[DI\] và \[NK\,{\rm{//}}\,IH\] (do \[BK\,{\rm{//}}\,IH)\] nên \(NK\) là đường trung bình của \[\Delta DIH,\] suy ra \(K\)là trung điểm của \(DH\) hay \(DK = KH\,\,\left( 2 \right)\) |
|
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(DK = KH = HC.\) Do đó \(\frac{{DK}}{{DC}} = \frac{1}{3}.\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Hướng dẫn giải
Gọi \(x\) là chữ số hàng chục của số cần tìm \((x \in \mathbb{N}\) và \(0 < x \le 9).\)
Khi đó chữ số hàng đơn vị là: \(12 - x.\)
Độ lớn số ban đầu là: \[10x + \left( {12 - x} \right).\]
Khi đổi chỗ hai chữ số đó cho nhau thì số mới có chữ số hàng chục là: \(12 - x\) và chữ số hàng đơn vị là \(x.\) Số mới có độ lớn là: \(10\left( {12 - x} \right) + x.\)
Sau khi đổi chỗ thì số mới bé hơn số ban đầu là 18 đơn vị nên ta có phương trình:
\(\left[ {10x + \left( {12 - x} \right)} \right] - \left[ {10\left( {12 - x} \right) + x} \right] = 18\)
\(10x + 12 - x - 120 + 10x - x = 18\)
\[10x - x + 10x - x = 18 - 12 + 120\]
\(18x = 126\)
\(x = 7\) (thỏa mãn).
Khi số cần tìm có chữ số hàng chục là 7 và chữ số hàng đơn vị là \(12 - 7 = 5.\)
Vậy số cần tìm là: 75.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
|
a) Vì \(AD\,{\rm{//}}\,KM\) nên \(\widehat {BAD} = \widehat {BKM}\) (đồng vị). Vì \(AD\,{\rm{//}}\,EM\) nên \(\widehat {CAD} = \widehat {CEM}\) (đồng vị). Mà \(AD\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\) nên \(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}.\) Do đó \(\widehat {BKM} = \widehat {CEM},\) lại có \(\widehat {CEM} = \widehat {AEK}\) nên \(\widehat {BKM} = \widehat {AEK}\) hay \(\widehat {AKE} = \widehat {AEK}.\) |
|
Tam giác \(AEK\) có \(\widehat {AKE} = \widehat {AEK}\) nên là tam giác cân tại \(A.\)
b) Xét \(\Delta ACD\) có \(EM\,{\rm{//}}\,AD,\) theo định lí Thalès ta có \(\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{DM}}{{MC}}.\)
Mà \(\Delta AEK\) cân tại \(A\) nên \(AK = AE.\)
Lại có điểm \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(MB = MC.\)
Do đó \(\frac{{AK}}{{EC}} = \frac{{DM}}{{MB}}.\)
c) Xét \(\Delta BMK\) có \(AD\,{\rm{//}}\,KM,\) theo định lí Thalès ta có \(\frac{{DM}}{{BM}} = \frac{{AK}}{{BK}}.\)
Theo câu a, ta có \(\frac{{AK}}{{EC}} = \frac{{DM}}{{MB}}\) nên \(\frac{{AK}}{{EC}} = \frac{{AK}}{{BK}},\) do đó \(EC = BK.\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập