Cho tam giác \(ABC\) có \(AB < AC.\) Tia phân giác \(\widehat {BAC}\) cắt cạnh \(BC\) tại điểm \(D.\) Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC.\) Qua điểm \(M\) kẻ đường thẳng song song với đường thẳng \(AD\) cắt các đường thẳng \(AC,\,\,AB\) lần lượt tại \(E\) và \(K.\) Chứng minh rằng:

a) Tam giác \(AEK\) cân. 

b) \(\frac{{AK}}{{EC}} = \frac{{DM}}{{MB}}.\)   

c) \(BK = EC.\)

Cho \(\Delta ABC\) trung tuyến \(AD.\) Vẽ tia phân giác của \[\widehat {ADB}\] cắt \(AB\) tại \(M,\) tia phân giác của \[\widehat {ADC}\] cắt \(AC\) tại \(N.\) Chứng minh rằng:

a) \[\frac{{MB}}{{MA}} = \frac{{BD}}{{AD}}.\] 

b) \[\frac{{MB}}{{MA}} = \frac{{NC}}{{NA}}.\]     

c) \(MN\,{\rm{//}}\,BC.\)

Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 100, nếu tăng số thứ nhất lên 2 lần và cộng thêm số thứ hai 5 đơn vị thì số thứ nhất gấp 5 lần số thứ 2.

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\,\,\left( {AB < AC} \right).\) Gọi \(I\) là trung điểm của cạnh \(BC.\) Qua \(I\) vẽ \(IN\) vuông góc với \(AC\) tại \(N.\) Lấy điểm \(D\) sao cho \(N\) là trung điểm của \(ID.\)

a) Chứng minh \(N\) là trung điểm của \(AC\) và tứ giác \(ADCI\) là hình thoi.

c) Đường thẳng \(BN\) cắt cạnh \(DC\) tại \(K.\) Chứng minh \(\frac{{DK}}{{DC}} = \frac{1}{3}.\)

Cho tứ giác \[ABCD.\] Gọi \[E,{\rm{ }}F,{\rm{ }}I\;\] theo thứ tự là trung điểm của \(AD,\,\,BC,\,\,AC.\) Chứng minh rằng:

a) \[EI\,{\rm{//}}\,CD\] và \[IF\,{\rm{//}}\,AB.\]      b) \[EF \le \frac{{AB + CD}}{2}.\]

Cho \(\Delta ABC\) có \(AD\) là trung tuyến, trọng tâm \(G,\) đường thẳng đi qua \(G\) cắt các cạnh \(AB,\,\,AC\) lần lượt tại \(E,\,\,F.\) Từ \(B,\,\,C\) kẻ các đường song song với \(EF\) cắt \(AD\) lần lượt tại \(M,\,\,N.\) Chứng minh rằng:

a) \(\frac{{BE}}{{AE}} = \frac{{MG}}{{AG}}.\)  

b) \(\frac{{BE}}{{AE}} + \frac{{CF}}{{AF}} = 1.\)  

c) \(\frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{AC}}{{AF}} = 3.\)