Câu hỏi:

04/12/2025 438

Cho $\Delta ABC$ có $AD$ là trung tuyến, trọng tâm $G,$ đường thẳng đi qua $G$ cắt các cạnh $AB,\,\,AC$ lần lượt tại $E,\,\,F.$ Từ $B,\,\,C$ kẻ các đường song song với $EF$ cắt $AD$ lần lượt tại $M,\,\,N.$ Chứng minh rằng:

a) $\frac{{BE}}{{AE}} = \frac{{MG}}{{AG}}.$

b) $\frac{{BE}}{{AE}} + \frac{{CF}}{{AF}} = 1.$

c) $\frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{AC}}{{AF}} = 3.$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 8 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

a) Xét $\Delta ABM$ có $EG\,{\rm{//}}\,BM,$ theo định lí Thalès ta có: $\frac{{BE}}{{AE}} = \frac{{MG}}{{AG}}.$

b) Xét $\Delta DCN$ có $BM\,{\rm{//}}\,CN,$ theo định lí Thalès ta có: $\frac{{DN}}{{MD}} = \frac{{DC}}{{DB}}.$

Mà $D$ là trung điểm của $BC$ (do $AD$ là trung tuyến của tam giác) nên $DC = DB.$

Do đó $\frac{{DN}}{{MD}} = \frac{{DC}}{{DB}} = 1,$ nên $DM = DN.$

$Cho $\Delta ABC$ có $AD$ là trun (ảnh 1)$

Suy ra $GM + GN = GM + GM + MN = 2GM + 2MD = 2GD.$

Lại có $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$ nên $AG = 2GD.$

Xét $\Delta ACN$ có $FG\,{\rm{//}}\,CN,$ theo định lí Thalès ta có: $\frac{{CF}}{{AF}} = \frac{{GN}}{{AG}}.$

Suy ra $\frac{{BE}}{{AE}} + \frac{{CF}}{{AF}} = \frac{{MG}}{{AG}} + \frac{{GN}}{{AG}} = \frac{{GM + GN}}{{AG}} = \frac{{2GD}}{{2GD}} = 1.$

c) Xét $\Delta ABM$ có $EG\,{\rm{//}}\,BM,$ theo định lí Thalès ta có: $\frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{AM}}{{AG}}.$

Xét $\Delta ACN$ có \[FG\,{\rm{//}}\,CN,\] theo định lí Thalès ta có: $\frac{{AC}}{{AF}} = \frac{{AN}}{{AG}}.$

Suy ra $\frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{AC}}{{AF}} = \frac{{AM}}{{AG}} + \frac{{AN}}{{AG}}$$ = \frac{{AG + GM + AG + GM + MN}}{{AG}}$

$ = \frac{{2AG + 2GM + 2MD}}{{AG}}$$ = \frac{{2AG + 2\left( {GM + MD} \right)}}{{AG}} = \frac{{2AG + 2GD}}{{AG}}$

$ = \frac{{2AG + 2 \cdot \frac{1}{2}AG}}{{AG}} = \frac{{3AG}}{{AG}} = 3.$

Vậy $\frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{AC}}{{AF}} = 3.$

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một số tự nhiên gồm hai chữ số có tổng của hai chữ số đó bằng 12. Nếu đổi chỗ hai chữ số đó cho nhau thì ta được một số mới bé hơn số ban đầu là 18 đơn vị. Tìm số ban đầu.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Gọi $x$ là chữ số hàng chục của số cần tìm $(x \in \mathbb{N}$ và $0 < x \le 9).$

Khi đó chữ số hàng đơn vị là: $12 - x.$

Độ lớn số ban đầu là: \[10x + \left( {12 - x} \right).\]

Khi đổi chỗ hai chữ số đó cho nhau thì số mới có chữ số hàng chục là: $12 - x$ và chữ số hàng đơn vị là $x.$ Số mới có độ lớn là: $10\left( {12 - x} \right) + x.$

Sau khi đổi chỗ thì số mới bé hơn số ban đầu là 18 đơn vị nên ta có phương trình:

$\left[ {10x + \left( {12 - x} \right)} \right] - \left[ {10\left( {12 - x} \right) + x} \right] = 18$

$10x + 12 - x - 120 + 10x - x = 18$

\[10x - x + 10x - x = 18 - 12 + 120\]

$18x = 126$

$x = 7$ (thỏa mãn).

Khi số cần tìm có chữ số hàng chục là 7 và chữ số hàng đơn vị là $12 - 7 = 5.$

Vậy số cần tìm là: 75.

Câu 2

Cho tam giác $ABC$ có $AB < AC.$ Tia phân giác $\widehat {BAC}$ cắt cạnh $BC$ tại điểm $D.$ Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC.$ Qua điểm $M$ kẻ đường thẳng song song với đường thẳng $AD$ cắt các đường thẳng $AC,\,\,AB$ lần lượt tại $E$ và $K.$ Chứng minh rằng:

a) Tam giác $AEK$ cân.

b) $\frac{{AK}}{{EC}} = \frac{{DM}}{{MB}}.$

c) $BK = EC.$

Xem đáp án

Lời giải

a) Vì $AD\,{\rm{//}}\,KM$ nên $\widehat {BAD} = \widehat {BKM}$ (đồng vị).

Vì $AD\,{\rm{//}}\,EM$ nên $\widehat {CAD} = \widehat {CEM}$ (đồng vị).

Mà $AD$ là tia phân giác của $\widehat {BAC}$ nên $\widehat {BAD} = \widehat {CAD}.$

Do đó $\widehat {BKM} = \widehat {CEM},$ lại có $\widehat {CEM} = \widehat {AEK}$ nên $\widehat {BKM} = \widehat {AEK}$ hay $\widehat {AKE} = \widehat {AEK}.$

$Cho tam giác $ABC$ có \(AB < AC (ảnh 1)$

Tam giác $AEK$ có $\widehat {AKE} = \widehat {AEK}$ nên là tam giác cân tại $A.$

b) Xét $\Delta ACD$ có $EM\,{\rm{//}}\,AD,$ theo định lí Thalès ta có $\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{DM}}{{MC}}.$

Mà $\Delta AEK$ cân tại $A$ nên $AK = AE.$

Lại có điểm $M$ là trung điểm của $BC$ nên $MB = MC.$

Do đó $\frac{{AK}}{{EC}} = \frac{{DM}}{{MB}}.$

c) Xét $\Delta BMK$ có $AD\,{\rm{//}}\,KM,$ theo định lí Thalès ta có $\frac{{DM}}{{BM}} = \frac{{AK}}{{BK}}.$

Theo câu a, ta có $\frac{{AK}}{{EC}} = \frac{{DM}}{{MB}}$ nên $\frac{{AK}}{{EC}} = \frac{{AK}}{{BK}},$ do đó $EC = BK.$

Câu 3