Cho tam giác $ABC$ có $BC = 15{\rm{\;cm}},\,\,CA = 18{\rm{\;cm}}$ và $AB = 12{\rm{\;cm}}.$ Gọi $I$ và $G$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và trọng tâm $\Delta ABC.$

a) Chứng minh $IG\,{\rm{//}}\,BC.$

b) Tính độ dài đoạn thẳng $IG.$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 8 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Gọi $AD$ là đường phân giác góc $BAC$ $\left( {D \in BC} \right).$

Xét $\Delta ABC$ có $AD$ là đường phân giác của $\widehat {BAC}$ nên \[\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{DC}},\] hay \[\frac{{DC}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{AB}}.\]

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\[\frac{{DC}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{AB}} = \frac{{DC + DB}}{{AC + AB}} = \frac{{BC}}{{AC + AB}} = \frac{{15}}{{18 + 12}} = \frac{1}{2}.\]

$Cho tam giác $ABC$ có \(BC = 1 (ảnh 1)$

Suy ra $CD = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9{\rm{\;cm}}$ và $BD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6{\rm{\;cm}}.$

Xét $\Delta ACD,$ có $CI$ là đường phân giác của $\widehat {ACD}$ nên $\frac{{AI}}{{DI}} = \frac{{AC}}{{CD}} = \frac{{18}}{9} = 2.$

Mặt khác, do $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$ nên $\frac{{AG}}{{GM}} = 2.$

Do đó $\frac{{AI}}{{ID}} = \frac{{AG}}{{GM}} = 2,$ theo định lí Thalès đảo ta có $IG\,{\rm{//}}\,BC.$

b) Gọi $M$ là trung điểm của $BC.$ Khi đó \[MB = MC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 15 = 7,5{\rm{\;cm}}.\]

Suy ra $DM = BM - BD = 7,5 - 6 = 1,5{\rm{\;cm}}.$

Xét $\Delta ADM$ có $IG\,{\rm{//}}\,BC,$ theo hệ quả định lí Thalès ta có $\frac{{IG}}{{DM}} = \frac{{AG}}{{AM}} = \frac{2}{3}.$

Suy ra $IG = \frac{2}{3}DM = \frac{2}{3} \cdot 1,5 = 1{\rm{\;cm}}.$

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A\,\,\left( {AB < AC} \right).$ Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $BC.$ Qua $I$ vẽ $IN$ vuông góc với $AC$ tại $N.$ Lấy điểm $D$ sao cho $N$ là trung điểm của $ID.$

a) Chứng minh $N$ là trung điểm của $AC$ và tứ giác $ADCI$ là hình thoi.

c) Đường thẳng $BN$ cắt cạnh $DC$ tại $K.$ Chứng minh $\frac{{DK}}{{DC}} = \frac{1}{3}.$

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

a) Xét $\Delta ABC$ có $AB \bot AC;\,\,IN \bot AC$ nên $AB\,{\rm{//}}\,IN.$

Mà $I$ là trung điểm của $BC$ nên $IN$ là đường trung bình của tam giác, do đó $N$ là trung điểm của $AC.$

Xét tứ giác $ADCI$ có: $N$ là trung điểm của $ID,\,\,AC$ nên $ADCI$ là hình bình hành.

$Cho tam giác $ABC$ vuông tại \(A (ảnh 1)$

Lại có $IN \bot AC$ hay $ID \bot AC$ nên hình bình hành $ADCI$ là hình thoi.

b) Kẻ $IH\,{\rm{//}}\,BK\,\,\left( {H \in CD} \right),$ mà $I$ là trung điểm của $BC,$ nên $IH$ là đường trung bình của $\Delta BKC.$ Do đó $H$ là trung điểm của $KC$ hay $KH = HC\,\,\left( 1 \right)$

Xét \[\Delta DIH\] có $N$ là trung điểm của \[DI\] và \[NK\,{\rm{//}}\,IH\] (do \[BK\,{\rm{//}}\,IH)\] nên $NK$ là đường trung bình của \[\Delta DIH,\] suy ra $K$là trung điểm của $DH$ hay $DK = KH\,\,\left( 2 \right)$

$Cho tam giác $ABC$ vuông tại \(A (ảnh 2)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $DK = KH = HC.$ Do đó $\frac{{DK}}{{DC}} = \frac{1}{3}.$

Câu 2

Cho $\Delta ABC$ trung tuyến $AD.$ Vẽ tia phân giác của \[\widehat {ADB}\] cắt $AB$ tại $M,$ tia phân giác của \[\widehat {ADC}\] cắt $AC$ tại $N.$ Chứng minh rằng:

a) \[\frac{{MB}}{{MA}} = \frac{{BD}}{{AD}}.\]

b) \[\frac{{MB}}{{MA}} = \frac{{NC}}{{NA}}.\]

c) $MN\,{\rm{//}}\,BC.$

Xem đáp án

Lời giải

a) Xét $\Delta ABD$ có $DM$ là đường phân giác của \[\widehat {ADB}\] nên \[\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{MA}}{{MB}}\] (tính chất đường phân giác trong tam giác).

b) Xét $\Delta ACD$ có $DN$ là đường phân giác của \[\widehat {ADC}\] nên \[\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{NA}}{{NC}}\] (tính chất đường phân giác trong tam giác).

$Cho $\Delta ABC$ trung tuyến $AD.$ (ảnh 1)$

Mà \[\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{MA}}{{MB}}\] (câu a) và \[DB = DC\] nên \[\frac{{MB}}{{MA}} = \frac{{NC}}{{NA}}.\]

c) Xét $\Delta ABC$ có: \[\frac{{MB}}{{MA}} = \frac{{NC}}{{NA}}\] (câu b) nên \[MN\,{\rm{//}}\,BC\](định lí Thalès đảo).

Câu 3