Năm nay tuổi bố gấp 10 lần tuổi của Minh. Bố Minh tính rằng sau 24 năm nữa thì tuổi của bố chỉ gấp 2 lần tuổi của Minh. Hỏi năm nay Minh bao nhiêu tuổi?

Cho \(\Delta ABC\) trung tuyến \(AD.\) Vẽ tia phân giác của \[\widehat {ADB}\] cắt \(AB\) tại \(M,\) tia phân giác của \[\widehat {ADC}\] cắt \(AC\) tại \(N.\) Chứng minh rằng:

a) \[\frac{{MB}}{{MA}} = \frac{{BD}}{{AD}}.\] 

b) \[\frac{{MB}}{{MA}} = \frac{{NC}}{{NA}}.\]     

c) \(MN\,{\rm{//}}\,BC.\)

Cho tam giác \(ABC\) có \(AB < AC.\) Tia phân giác \(\widehat {BAC}\) cắt cạnh \(BC\) tại điểm \(D.\) Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC.\) Qua điểm \(M\) kẻ đường thẳng song song với đường thẳng \(AD\) cắt các đường thẳng \(AC,\,\,AB\) lần lượt tại \(E\) và \(K.\) Chứng minh rằng:

a) Tam giác \(AEK\) cân. 

b) \(\frac{{AK}}{{EC}} = \frac{{DM}}{{MB}}.\)   

c) \(BK = EC.\)

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\,\,\left( {AB < AC} \right).\) Gọi \(I\) là trung điểm của cạnh \(BC.\) Qua \(I\) vẽ \(IN\) vuông góc với \(AC\) tại \(N.\) Lấy điểm \(D\) sao cho \(N\) là trung điểm của \(ID.\)

a) Chứng minh \(N\) là trung điểm của \(AC\) và tứ giác \(ADCI\) là hình thoi.

c) Đường thẳng \(BN\) cắt cạnh \(DC\) tại \(K.\) Chứng minh \(\frac{{DK}}{{DC}} = \frac{1}{3}.\)

Cho tứ giác \[ABCD.\] Gọi \[E,{\rm{ }}F,{\rm{ }}I\;\] theo thứ tự là trung điểm của \(AD,\,\,BC,\,\,AC.\) Chứng minh rằng:

a) \[EI\,{\rm{//}}\,CD\] và \[IF\,{\rm{//}}\,AB.\]      b) \[EF \le \frac{{AB + CD}}{2}.\]

Cho \(\Delta ABC\) có \(AD\) là trung tuyến, trọng tâm \(G,\) đường thẳng đi qua \(G\) cắt các cạnh \(AB,\,\,AC\) lần lượt tại \(E,\,\,F.\) Từ \(B,\,\,C\) kẻ các đường song song với \(EF\) cắt \(AD\) lần lượt tại \(M,\,\,N.\) Chứng minh rằng:

a) \(\frac{{BE}}{{AE}} = \frac{{MG}}{{AG}}.\)  

b) \(\frac{{BE}}{{AE}} + \frac{{CF}}{{AF}} = 1.\)  

c) \(\frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{AC}}{{AF}} = 3.\)

Cho hình thang \(ABCD\) có hai đáy \(AB\) và \(CD.\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD,\) \(E\) là giao điểm của \(MA\) và \(BD,\) \(F\) là giao điểm của \(MB\) và \(AC.\)

a) Chứng minh rằng \[EF\,{\rm{//}}\,AB.\]

b) Đường thẳng \(EF\) cắt \(AD,\,\,BC\) lần lượt tại \(H\) và \(N.\) Chứng minh \(HE = EF = FN.\)

c) Biết \(AB = 7,5{\rm{\;cm}},\,\,CD = 12{\rm{\;cm}}.\) Tính độ dài \(HN.\)