Xác định \[a,{\rm{ }}b\] của hàm số \[y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\] sao cho đồ thị hàm số:

a) Đi qua điểm $A\left(3;–1\right)$ và $B\left(2;–5\right).$

b) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng \[--1.\]

c) Đi qua giao điểm của hai đường thẳng \[\left( {{d_1}} \right):y = x + 1\] và $\left(d_2\right):y=2x–3,$ và đồ thị hàm số song song với đường thẳng \(y = \frac{3}{2}x - 24.\)

d) Vuông góc với đường thẳng \(y = - \frac{1}{4}x + 9\) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \[5.\]

g) \(\frac{{7x - 1}}{6} = \frac{{16 - x}}{5} - 2x\)

\(\frac{{5\left( {7x - 1} \right)}}{{30}} = \frac{{6\left( {16 - x} \right)}}{{30}} - \frac{{2x \cdot 30}}{{30}}\)

\(35x - 5 = 96 - 6x - 60x\)

\(35x + 6x + 60x = 96 + 5\)

\(101x = 101\)

 \(x = 1.\)

Hướng dẫn giải

a) Để đường thẳng \[y = \left( {3--2m} \right)x + m + 4\] song song với trục hoành thì \(3 - 2m = 0\) và \(m + 4 \ne 0.\)

Do đó \(m = \frac{3}{2}\) và \(m \ne - 4.\)

Vậy \(m = \frac{3}{2}\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

b) Gọi \(I\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm cố định mà đường thẳng \[y = \left( {3--2m} \right)x + m + 4\] luôn đi qua với mọi giá trị của \[m.\]

Khi đó tọa độ điểm \(I\) thỏa mãn hàm số \[y = \left( {3--2m} \right)x + m + 4\] với mọi giá trị của \[m.\]

Tức là, \[{y_0} = \left( {3--2m} \right){x_0} + m + 4\] đúng với mọi \(m\)

\[{y_0} = 3{x_0}--2m{x_0} + m + 4\] đúng với mọi \(m\)

\[\left( {2{x_0} - 1} \right)m = 3{x_0} - {y_0} + 4\] đúng với mọi \(m\)

Điều này xảy ra khi và chỉ khi \[2{x_0} - 1 = 0\] và \[3{x_0} - {y_0} + 4 = 0\]

Tức là \({x_0} = \frac{1}{2}\) và \({y_0} = 3{x_0} + 4 = 3 \cdot \frac{1}{2} + 4 = \frac{{11}}{2}.\)

Vậy điểm cố định mà đồ thị hàm số trên luôn đi qua với mọi giá trị của \[m\] là \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{{11}}{2}} \right).\)

c) Để hai đường thẳng \[y = \left( {3--2m} \right)x + m + 4\] và \[y = 2x - 2{m^2} + 2m + 4\] cắt nhau thì \(3 - 2m \ne 2,\) do đó \(m \ne \frac{1}{2}.\)

Hoành độ giao điểm \(M\) của hai đường thẳng \[y = \left( {3--2m} \right)x + m + 4\] và \[y = 2x - 2{m^2} + 2m + 4\] là nghiệm của phương trình:

\[\left( {3--2m} \right){x_M} + m + 4 = 2{x_M} - 2{m^2} + 2m + 4\]

\[\left( {3--2m - 2} \right){x_M} + m + 4 + 2{m^2} - 2m - 4 = 0\]

\[\left( {1--2m} \right){x_M} + 2{m^2} - m = 0\] \(\left( * \right)\)

Vì \(m \ne \frac{1}{2}\) nên ta có \(1 - 2m \ne 0,\) khi đó từ \(\left( * \right)\) ta có:

\[{x_M} = - \frac{{2{m^2} - m}}{{1--2m}} = \frac{{m\left( {2m - 1} \right)}}{{2m - 1}} = m.\]

Thay \[{x_M} = m\] vào hàm số \[y = 2x + 1--m,\] ta được: \[{y_M} = 2 \cdot m + 1--m = m + 1.\]

Do đó \({y_M} = {x_M} + 1.\)

Vậy giao điểm \(M\) của hai đồ thị đã cho là một điểm nằm trên đường thẳng \(y = x + 1.\)