Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} - 3{x^2} + 8x - 2\) có đồ thị là đường cong \(\left( C \right)\).

a) Tính \(f'\left( x \right)\) và giải bất phương trình \(f'\left( x \right) \le 0\).

b) Viết phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) của \(\left( C \right)\) biết rằng \(\Delta \) vuông góc với đường thẳng \(d:y = - \frac{1}{3}x + 2\) và tiếp xúc với \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ lớn hơn 2.

a) \(y' = f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x\).

b) Có \({\left[ {f\left( x \right) \cdot g\left( x \right)} \right]^\prime }\)\( = {\left[ {\left( {{x^3} - 3{x^2} + 1} \right)\left( {1 - 2x} \right)} \right]^\prime }\)\( = \left( {3{x^2} - 6x} \right)\left( {1 - 2x} \right) - 2\left( {{x^3} - 3{x^2} + 1} \right)\)

\( = - 8{x^3} + 21{x^2} - 6x - 2\).

Khi đó \({\left[ {f\left( x \right) \cdot g\left( x \right)} \right]^\prime } = 0\)\( \Leftrightarrow - 8{x^3} + 21{x^2} - 6x - 2 = 0\).

Thay lần lượt \(x = 0;x = 2\) vào phương trình ta thấy không thỏa mãn.

Vậy \(T = \left\{ {0;2} \right\}\) không là tập nghiệm của phương trình\({\left[ {f\left( x \right) \cdot g\left( x \right)} \right]^\prime } = 0\).

c) Có \(y' = g'\left( x \right) = - 2\).

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị \(\left( {{C_2}} \right)\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 1\) bằng \( - 2\).

d) Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị \(\left( {{C_1}} \right)\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 1\) là \(f'\left( 1 \right) = 3 \cdot {1^2} - 6 \cdot 1 = - 3\).

Với \({x_0} = 1\) thì \({y_0} = - 1\).

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y = - 3\left( {x - 1} \right) - 1 = - 3x + 2\).

Đáp án: a) Đúng;      b) Sai;      c) Sai;       d) Đúng.