Hai đường thẳng \[y = \left( {{m^2} - 1} \right)x + m\] \(\left( {m \ne \pm 1} \right)\) và \(y = 3x + 2\) trùng nhau khi        

Hướng dẫn giải

1)

a) Gọi \(H\) là chân đường cao kẻ từ \(A\) đến \(BC.\)

Bánh tro có dạng hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) nên đáy \(ABC\) là tam giác đều.

Suy ra \(AC = BC = AB = 5{\rm{\;cm}}.\)

Khi đó ta cũng có đường cao \(AH\) đồng thời là đường trung tuyến nên

\(HB = HC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 5 = 2,5{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) (do \(AH \bot BC)\) có:

\(A{B^2} = A{H^2} + B{H^2}\) (định lí Pythagore)

Do đó \(A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {5^2} - 2,{5^2} = 25 - 6,25 = 18,75\)

Suy ra \(AH = \sqrt {18,75} = \sqrt {\frac{{75}}{4}} = \sqrt {\frac{{25 \cdot 3}}{4}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{5\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} {\rm{ = }}\frac{{5\sqrt 3 }}{2}{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Vậy chiều cao của mặt đáy chiếc bánh tro là \(\frac{{5\sqrt 3 }}{2}{\rm{\;cm}}.\)

b) Diện tích đáy hình chóp tam giác đều là:

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \frac{{5\sqrt 3 }}{2} \cdot 5 = \frac{{25\sqrt 3 }}{4}{\rm{\;}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Thể tích của hình chóp tam giác đều là:

\(V = \frac{1}{3}{S_{ABC}} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot \frac{{25\sqrt 3 }}{4} \cdot 4 = \frac{{25\sqrt 3 }}{3} \approx {\rm{14,4}}\,{\rm{\;}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right).\)

Vậy thể tích của chiếc bánh tro khoảng \[14,4{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^3}.\]

2)

a) ⦁ Ta có \(DE = DM\) nên \(D\) là trung điểm của \(EM.\)

Xét tứ giác \(AEBM\) có \(D\) là trung điểm của hai đường chéo \(AB\) và \(EM.\)

Do đó tứ giác \(AEBM\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường trung tuyến \(AM\) ứng với cạnh huyền \(BC\) nên \(AM = \frac{1}{2}BC\) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).

Vì \(AM\) là đường trung tuyến nên \(M\) là trung điểm của \(BC,\) do đó \(BM = CM = \frac{1}{2}BC.\)

Suy ra \(AM = BM = CM.\)

Hình bình hành \(AEBM\) có hai cạnh kề bằng nhau \(AM = BM\) nên là hình thoi.

⦁ Do \(AEBM\) hình thoi nên \(AE = BM\) và \(AE\,{\rm{//}}\,BM.\)

Do đó \(AE = CM\) và \(AE\,{\rm{//}}\,CM.\)

Tứ giác \(ACME\) có \(AE = CM\) và \(AE\,{\rm{//}}\,CM\) nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Do\(AEBM\) là hình thoi nên để \(AEBM\) là hình vuông thì \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) hay \(AM \bot BC\)

Khi đó \(\Delta ABC\) có đường trung tuyến \(AM\) đồng thời là đường cao nên sẽ là tam giác cân tại \(A.\)

Vậy \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) thì \(AEBM\) là hình vuông.

Hướng dẫn giải

a) Ta có \(25{x^2} - 1 = {\left( {5x} \right)^2} - 1 = \left( {5x - 1} \right)\left( {5x + 1} \right).\)

Biểu thức \(A\) xác định khi và chỉ khi \(2x - 3 \ne 0\,;\,\,5x - 1 \ne 0\,;\,\,5x + 1 \ne 0\) hay \(x \ne \frac{3}{2};\,\,x \ne \frac{1}{5};\,\,x \ne  - \frac{1}{5}.\)

b) Với \(x \ne \frac{3}{2};\) \(x \ne \frac{1}{5};\) \(x \ne  - \frac{1}{5}\) ta có:

\(A = \frac{{5x + 1}}{{2x - 3}} \cdot \frac{{x + 2}}{{25{x^2} - 1}} - \frac{{8 - 3x}}{{25{x^2} - 1}}:\frac{{2x - 3}}{{5x + 1}}\)

\( = \frac{{5x + 1}}{{2x - 3}} \cdot \frac{{x + 2}}{{25{x^2} - 1}} - \frac{{8 - 3x}}{{25{x^2} - 1}} \cdot \frac{{5x + 1}}{{2x - 3}}\)

\( = \frac{{5x + 1}}{{2x - 3}} \cdot \left( {\frac{{x + 2}}{{25{x^2} - 1}} - \frac{{8 - 3x}}{{25{x^2} - 1}}} \right)\)

\( = \frac{{5x + 1}}{{2x - 3}} \cdot \left( {\frac{{x + 2 - 8 + 3x}}{{25{x^2} - 1}}} \right)\)

\( = \frac{{5x + 1}}{{2x - 3}} \cdot \frac{{4x - 6}}{{25{x^2} - 1}}\)

\( = \frac{{\left( {5x + 1} \right) \cdot 2\left( {2x - 3} \right)}}{{\left( {2x - 3} \right) \cdot \left( {5x - 1} \right)\left( {5x + 1} \right)}}\)\( = \frac{2}{{5x - 1}}.\)

Do đó \(A = \frac{2}{{5x - 1}}.\)

Từ \(A \cdot B = \frac{{x + 2}}{{5x - 1}}\) suy ra \[B = \frac{{x + 2}}{{5x - 1}}:A = \frac{{x + 2}}{{5x - 1}}:\frac{2}{{5x - 1}} = \frac{{x + 2}}{{5x - 1}} \cdot \frac{{5x - 1}}{2} = \frac{{x + 2}}{2}.\]

Vậy \(B = \frac{{x + 2}}{2}.\)

c) Thay \(x = \frac{3}{5}\) vào biểu thức \(B = \frac{{x + 2}}{2},\) ta được: \(B = \frac{{\frac{3}{5} + 2}}{2} = \frac{{\frac{{13}}{5}}}{2} = \frac{{13}}{{10}}.\)

Vậy với \(x = \frac{3}{5}\) thì \(B = \frac{{13}}{{10}}.\)