(3,0 điểm)

1) Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có các mặt bên cũng là các tam giác đều. Gọi \(SO\) là đường cao của hình chóp, \(OC = 2\sqrt 3 {\rm{\;cm}}.\)

Tính (làm tròn các kết quả đến chữ số thập phân thứ hai):

a) Độ dài các cạnh bên của hình chóp.

b) Diện tích xung quanh của hình chóp.

2) Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A,\) đường trung tuyến \(AH.\) Gọi \(I\) và \(K\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(AB.\) Gọi \(E\) là điểm sao cho \(I\) là trung điểm của \(HE.\)

a) Giải thích tại sao tứ giác \(AKHI\) là hình thoi.

b) Chứng minh rằng \(AHCE\) là hình chữ nhật. Tam giác \(ABC\) cần thêm điều kiện gì để tứ giác \(AHCE\) là hình vuông?

Hướng dẫn giải

a) Ta có: ⦁ \(2{x^2} + 8 = 2\left( {{x^2} + 4} \right).\)

⦁ \[{x^3} - 2{x^2} + 4x - 8 = \left( {{x^3} - 2{x^2}} \right) + \left( {4x - 8} \right) = {x^2}\left( {x - 2} \right) + 4\left( {x - 2} \right) = \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)\].

Với mọi \(x\) thì \({x^2} \ge 0\) nên \({x^2} + 4 \ge 4 > 0\) hay \({x^2} + 4 > 0.\)

Khi đó, điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là  \(x - 2 \ne 0\) và \(x \ne 0\) hay \(x \ne 2\) và \(x \ne 0.\)

b) Với \(x \ne 2\) và \(x \ne 0,\) ta có:

\(A = \left( {\frac{{2x - {x^2}}}{{2{x^2} + 8}} - \frac{{2{x^2}}}{{{x^3} - 2{x^2} + 4x - 8}}} \right) \cdot \left( {\frac{2}{{{x^2}}} - \frac{{x - 1}}{x}} \right)\)

\( = \left[ {\frac{{2x - {x^2}}}{{2\left( {{x^2} + 4} \right)}} - \frac{{2{x^2}}}{{\left( {{x^2} + 4} \right)\left( {x - 2} \right)}}} \right] \cdot \left[ {\frac{2}{{{x^2}}} - \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{{x^2}}}} \right]\)

\[ = \frac{{\left( {2x - {x^2}} \right)\left( {x - 2} \right) - 2{x^2} \cdot 2}}{{2\left( {{x^2} + 4} \right)\left( {x - 2} \right)}} \cdot \frac{{2 - {x^2} + x}}{{{x^2}}}\]

\[ = \frac{{2{x^2} - 4x - {x^3} + 2{x^2} - 4{x^2}}}{{2\left( {{x^2} + 4} \right)\left( {x - 2} \right)}} \cdot \frac{{ - {x^2} + 2x - x + 2}}{{{x^2}}}\]

\[ = \frac{{ - 4x - {x^3}}}{{2\left( {{x^2} + 4} \right)\left( {x - 2} \right)}} \cdot \frac{{ - x\left( {x - 2} \right) - \left( {x - 2} \right)}}{{{x^2}}}\]

\[ = \frac{{ - x\left( {{x^2} + 4} \right)}}{{2\left( {{x^2} + 4} \right)\left( {x - 2} \right)}} \cdot \frac{{ - \left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2}}}\]\[ = \frac{{x + 1}}{{2x}}.\]

Vậy với \(x \ne 2\) và \(x \ne 0,\) thì \(A = \frac{{x + 2}}{{2x}}.\)

c) Thay \(x = 2\,\,024\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(A = \frac{{x + 2}}{{2x}},\) ta được:

\(A = \frac{{2\,\,024 + 2}}{{2 \cdot 2\,\,024}} = \frac{{2\,\,026}}{{2 \cdot 2\,\,024}} = \frac{{1\,\,013}}{{2\,\,024}}.\)

Vậy với \(x = 2\,\,024\) thì \(A = \frac{{1\,\,013}}{{2\,\,024}}.\)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(M = \frac{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}}{{\left( {b - 2} \right)\left( {c - 2} \right)}} + \frac{{{{\left( {b - 2} \right)}^2}}}{{\left( {a - 2} \right)\left( {c - 2} \right)}} + \frac{{{{\left( {c - 2} \right)}^2}}}{{\left( {a - 2} \right)\left( {b - 2} \right)}}\)

\( = \frac{{{{\left( {a - 2} \right)}^3} + {{\left( {b - 2} \right)}^3} + {{\left( {c - 2} \right)}^3}}}{{\left( {a - 2} \right)\left( {b - 2} \right)\left( {c - 2} \right)}}\).

Đặt \[a - 2 = x\,;\,\,b - 2 = y\,;\,\,c - 2 = z.\]

Khi đó \(M = \frac{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}}{{xyz}}.\)

Mặt khác, từ \(a + b + c = 6\) suy ra \(\left( {a - 2} \right) + \left( {b - 2} \right) + \left( {c - 2} \right) = 0\)

Hay \(x + y + z = 0\)

Suy ra \(x + y =  - z\)

\[{\left( {x + y} \right)^3} = {\left( { - z} \right)^3}\]

\({x^3} + {y^3} + 3xy\left( {x + y} \right) =  - {z^3}\)

\({x^3} + {y^3} + 3xy\left( { - z} \right) =  - {z^3}\)

\({x^3} + {y^3} + {z^3} = 3xyz\).

Do đó \(M = \frac{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}}{{xyz}} = \frac{{3xyz}}{{xyz}} = 3.\)

Vậy \(M = 3.\)