Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a,SA \bot (ABC)\) và \(SA = 2a\). Tính góc phẳng nhị diện \([A,SC,B]\)?

Từ giả thiết suy ra hình chóp \(S.ABCD\)là hình chóp tứ giác đều.

Ta có \(AB{\rm{//}}CD\)\( \Rightarrow AB{\rm{//}}\left( {SCD} \right)\) nên \(d\left( {SC;AB} \right)\)\( = d\left( {AB;{\mathop{\rm mp}\nolimits} \left( {SCD} \right)} \right)\)\( = d\left( {A;{\mathop{\rm mp}\nolimits} \left( {SCD} \right)} \right)\).

Mặt khác \(O\) là trung điểm \(AC\) nên \(d\left( {A;{\mathop{\rm mp}\nolimits} \left( {SCD} \right)} \right)\)\( = 2d\left( {O;{\mathop{\rm mp}\nolimits} \left( {SCD} \right)} \right)\).

Như vậy \(d\left( {SC;AB} \right)\)\( = 2d\left( {O;{\mathop{\rm mp}\nolimits} \left( {SCD} \right)} \right)\).

Gọi \(M\) là trung điểm \(CD\), ta có \(OM \bot CD\) và \(OM = \frac{a}{2}\). Kẻ \(OH \bot SM\), với \(H \in SM\), thì \(OH \bot {\mathop{\rm mp}\nolimits} \left( {SCD} \right)\).

Xét tam giác \(SOM\) vuông tại \[O\], ta có \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{M^2}}}\)\( = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}} = \frac{5}{{{a^2}}}\).

Từ đó \(OH = \frac{a}{{\sqrt 5 }}\).

Vậy \(d\left( {SC;AB} \right)\)\( = 2d\left( {O;{\mathop{\rm mp}\nolimits} \left( {SCD} \right)} \right)\)\( = 2.OH\)\( = \frac{{2a}}{{\sqrt 5 }}\).