Cho ba số thực \(x,y,z \ge 0\) thỏa mãn \({2^x} + {4^y} + {8^z} = 4\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{2}\) nằm trong khoảng nào trong các khoảng sau đây?

 

Đáp án                                            

\(\left( {0;\frac{1}{3}} \right)\)

Giải thích

Với \(a,b,c \ge 1 \Rightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow ab \ge a + b - 1\)

\( \Leftrightarrow abc \ge \left( {a + b - 1} \right)c = ac + bc - c \ge \left( {a + c - 1} \right) + \left( {b + c - 1} \right) - c = a + b + c - 2\)

Vì \(x,y,z \ge 0\) nên \({2^x},{4^y},{8^z} \ge 1\)

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có \({2^x}{.4^y}{.8^z} \ge {2^x} + {4^y} + {8^z} - 2 = 2\)

\( \Leftrightarrow {2^{z + 2y + 3x}} \ge 2 \Leftrightarrow x + 2y + 3z \ge 1\)

\( \Rightarrow P = \frac{{x + 2y + 3z}}{6} \ge \frac{1}{6}\)