Hàm số f(x) xác định, liên tục trên R và có đạo hàm là f'(x) = $\left|x-1\right|$. Biết rằng f(0) = 3. Tổng f(2) +f(4)  bằng bao nhiêu?

Đáp án:  ___

 

Đáp án

12

Giải thích

Ta có \(f'\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 1}&{{\rm{khi\;}}}&{x \ge 1}\\{ - \left( {x - 1} \right)}&{{\rm{khi\;}}}&{x < 1}\end{array}} \right.\).

Khi \(x \ge 1\) thì \(f\left( x \right) = \mathop \smallint \nolimits^ \left( {x - 1} \right){\rm{d}}x = \frac{{{x^2}}}{2} - x + {C_1}\).

Khi \(x < 1\) thì \(f\left( x \right) =  - \mathop \smallint \nolimits^ \left( {x - 1} \right){\rm{d}}x =  - \left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x} \right) + {C_2}\).

Theo đề bài ta có \(f\left( 0 \right) = 3\) nên \({C_2} = 3 \Rightarrow f\left( x \right) =  - \left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x} \right) + 3\) khi \(x < 1\).

Mặt khác do hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\) nên

\( \Leftrightarrow  - \left( {\frac{1}{2} - 1} \right) + 3 = \frac{1}{2} - 1 + {C_1} \Leftrightarrow {C_1} = 4\)

Vậy khi \(x \ge 1\) thì \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - x + 4\).

 \( \Rightarrow f\left( 2 \right) + f\left( 4 \right) = 12\).