Tổng các giá trị của tham số m để đường thẳng y = -x +2  cắt đồ thị hàm số $y = \frac{x^3+m}{x-1}$ tại hai điểm phân biệt bằng bao nhiêu? Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai.

Đáp án:  ______

 

Đáp án

-7,15

Giải thích

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và đồ thị hàm số:

\(\frac{{{x^3} + m}}{{x - 1}} =  - x + 2\left( {x \ne 1} \right) \Leftrightarrow  - {x^3} - {x^2} + 3x - 2 = m\,\,\left( {x \ne 1} \right)\,\,\left( {\rm{*}} \right)\).

Để đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1.

Xét hàm số \(f\left( x \right) =  - {x^3} - {x^2} + 3x - 2\) trên \(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).

Ta có: \(f'\left( x \right) =  - 3{x^2} - 2x + 3,\,\,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} = \frac{{ - 1 - \sqrt {10} }}{3}}\\{{x_2} = \frac{{ - 1 + \sqrt {10} }}{3}}\end{array}} \right.\).

Bảng biến thiên của hàm số \(f\left( x \right)\):

​

Từ bảng biến thiên ta có phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = f\left( {{x_1}} \right)}\\{m = f\left( {{x_2}} \right)}\\{m = f\left( 1 \right)}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = \frac{{ - 83 - 20\sqrt {10} }}{{27}}}\\{m = \frac{{ - 83 + 20\sqrt {10} }}{{27}}}\\{m =  - 1}\end{array} \Rightarrow \mathop \sum \nolimits^ m =  - \frac{{193}}{{27}} \approx  - 7,15} \right.} \right.\)

Vậy tổng các giá trị của tham số \(m\) thỏa mãn là \( - 7,15\).