Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh SA, BC, CD. Gọi I, J lần lượt là giao điểm của NP với AB, AD. Kéo dài MI cắt SB tại \(E\), kéo dài MJ cắt SD tại \(E\). Gọi \(k = \frac{{EF}}{{IJ}}\), giá trị của \(k\) là?

 

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Chứng minh: ΔBNI∼ΔCNP để suy ra tỉ lệ bằng nhau. Áp dụng định lý Menelaus

Lời giải

Vì N, P lần lượt là trung điểm \(BC,CD \Rightarrow NP\) là đường trung bình của tam giác BCD

 hay

Xét \(\Delta BNI\) và \(\Delta CNP\) có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\widehat {IBN} = \widehat {NCP}}\\{\widehat {BNI} = \widehat {CNP}}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \Delta BNI\~\Delta CNP(g - g)\)

\( \Rightarrow \frac{{BN}}{{CN}} = \frac{{NI}}{{NP}} = \frac{{BI}}{{CP}} = 1\) (Vì N là trung điểm BC)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{NI = NP}\\{BI = CP}\end{array} \Rightarrow BI = \frac{1}{2}AB} \right.\) hay \(IB = \frac{1}{3}AI\)

Áp dụng định lý Menelaus trong \(\Delta SAB\) ta có: \(\frac{{MS}}{{MA}}.\frac{{IA}}{{IB}}.\frac{{EB}}{{ES}} = 1\)

\( \Rightarrow \frac{{IA}}{{IB}}.\frac{{EB}}{{ES}} = 1\)

Mà \(IB = \frac{1}{3}AI \Rightarrow 3.\frac{{EB}}{{ES}} = 1 \Rightarrow \frac{{EB}}{{ES}} = \frac{1}{3}\)

Chứng minh tương tự ta có \(\frac{{FD}}{{FS}} = \frac{1}{3}\)

Xét tam giác SBD có \(:\frac{{EB}}{{ES}} = \frac{{FD}}{{FS}} = \frac{1}{3}\)

Theo định lý Thales và \(EF = \frac{1}{3}BD\)

Xét \(\Delta AIJ\) có

\( \Rightarrow BD = \frac{2}{3}IJ\)

Vậy \(EF = \frac{1}{3}.\frac{2}{3}IJ = \frac{2}{9}IJ\)