Cho hàm số $y = x^3 -3x$ có đồ thị C. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của k để đường thẳng $d: y = k(x+1) +2$ cắt đồ thị hàm số C tại ba điểm phân biệt M, N, P sao cho các tiếp tuyến của C tại N và P vuông góc với nhau. Biết điểm M (-1; 2)  tính tích tất cả các phần tử của tập S?

Đáp án:  ____

 

Đáp án đúng là "1/9"

Phương pháp giải

Tương giao đồ thị

Lời giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l}{x^3} - 3x = k(x + 1) + 2 \Leftrightarrow {x^3} - 3x - 2 = k(x + 1) \Leftrightarrow (x + 1)\left( {{x^2} - x - 1} \right) = k(x + 1)\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1}\\{{x^2} - x - k - 2 = 0}\end{array}} \right.\end{array}\)

Đặt \(f(x) = {x^2} - x - k - 2\)

Để \((C)\) cắt d tại 3 điểm phân biệt \( \Rightarrow f(x) = 0\) có hai nghiệm phân biệt khác -1

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{k \ne 0}\\{k > \frac{{ - 9}}{4}}\end{array}} \right.\)

Khi đó, gọi \(M( - 1;2),N\left( {{x_1};{y_1}} \right),P\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) là tọa độ giao điểm của \((C)\) và \(d\)

\( \Rightarrow {x_1},{x_2}\) là nghiệm của phương trình \(f(x) = 0\) nên \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn hệ thức Viet: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 1}\\{{x_1}{x_2} =  - k - 2}\end{array}} \right.\)

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}{y^\prime }\left( {{x_1}} \right).{y^\prime }\left( {{x_2}} \right) =  - 1 \Leftrightarrow \left( {3x_1^2 - 3} \right)\left( {3x_2^2 - 3} \right) =  - 1\\ \Leftrightarrow 9{\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} - 9\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 10 = 0\\ \Leftrightarrow 9{\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} - 9\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right] + 10 = 0\\ \Leftrightarrow 9{( - k - 2)^2} - 9[1 - 2( - k - 2)] + 10 = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow 9{k^2} + 18k + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{k = \frac{{ - 3 + 2\sqrt 2 }}{3}}\\{k = \frac{{ - 3 - 2\sqrt 2 }}{3}}\end{array}} \right.\)

Vậy tích các phần tử của \(S\) là \(\frac{1}{9}\)