Cho hàm số có đồ thị C. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của k để đường thẳng cắt đồ thị hàm số C tại ba điểm phân biệt M, N, P sao cho các tiếp tuyến của C tại N và P vuông góc với nhau. Biết điểm M (-1; 2) tính tích tất cả các phần tử của tập S?
Đáp án: ____
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là "1/9"
Phương pháp giải
Tương giao đồ thị
Lời giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
\(\begin{array}{l}{x^3} - 3x = k(x + 1) + 2 \Leftrightarrow {x^3} - 3x - 2 = k(x + 1) \Leftrightarrow (x + 1)\left( {{x^2} - x - 1} \right) = k(x + 1)\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1}\\{{x^2} - x - k - 2 = 0}\end{array}} \right.\end{array}\)
Đặt \(f(x) = {x^2} - x - k - 2\)
Để \((C)\) cắt d tại 3 điểm phân biệt \( \Rightarrow f(x) = 0\) có hai nghiệm phân biệt khác -1
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{k \ne 0}\\{k > \frac{{ - 9}}{4}}\end{array}} \right.\)
Khi đó, gọi \(M( - 1;2),N\left( {{x_1};{y_1}} \right),P\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) là tọa độ giao điểm của \((C)\) và \(d\)
\( \Rightarrow {x_1},{x_2}\) là nghiệm của phương trình \(f(x) = 0\) nên \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn hệ thức Viet: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 1}\\{{x_1}{x_2} = - k - 2}\end{array}} \right.\)
Theo bài ra ta có:
\(\begin{array}{l}{y^\prime }\left( {{x_1}} \right).{y^\prime }\left( {{x_2}} \right) = - 1 \Leftrightarrow \left( {3x_1^2 - 3} \right)\left( {3x_2^2 - 3} \right) = - 1\\ \Leftrightarrow 9{\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} - 9\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 10 = 0\\ \Leftrightarrow 9{\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} - 9\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right] + 10 = 0\\ \Leftrightarrow 9{( - k - 2)^2} - 9[1 - 2( - k - 2)] + 10 = 0\end{array}\)
\( \Leftrightarrow 9{k^2} + 18k + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{k = \frac{{ - 3 + 2\sqrt 2 }}{3}}\\{k = \frac{{ - 3 - 2\sqrt 2 }}{3}}\end{array}} \right.\)
Vậy tích các phần tử của \(S\) là \(\frac{1}{9}\)
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Lời giải
Đáp án đúng là D
Phương pháp giải
Áp suất phân tử chất khí: \(p = \frac{1}{3}\rho \overline {{v^2}} \)
Lời giải
Áp suất mà khí đó tác dụng lên thành bình là:
\(p = \frac{1}{3}.\frac{m}{V}\overline {{v^2}} = \frac{1}{3}\rho \overline {{v^2}} \)
\[ \to p = \frac{1}{3}{.6.10^{ - 2}}{.500^2} = {5.10^3}\,(Pa)\]
Lời giải
Đáp án đúng là "103"
Phương pháp giải
Ứng dụng tích phân để tính thể tích.
Lời giải
Giả sử thiết diện qua trục của bình hoa miêu tả như hình vẽ bên dưới. Chọn hệ trục tọa độ Oxy thỏa mãn gốc tọa độ O trùng với tâm đáy bình hoa, trục Ox trùng với trục của bình hoa.
Bán kính hình tròn đáy bình hoa bằng \({y_A} = 2\) nên
\( - \sin {x_A} + 2 = 2 \Rightarrow \sin {x_A} = 0 \Rightarrow {x_A} = 0\)
Bán kính đường tròn miệng bình hoa bằng \({y_B} = 1,5\,\,\left( {2\pi < {x_B} < 3\pi } \right)\), tức là:
\(\sin \left( {{x_B} - \pi } \right) + 2 = 1,5 \Rightarrow \sin \left( {{x_B} - \pi } \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) \Rightarrow {x_B} - \pi = - \frac{\pi }{6} + 2\pi \Rightarrow {x_B} = \frac{{17\pi }}{6}\)
Khi đó thể tích bình hoa giới hạn bởi các đường \(y = - \sin x + 2;y = 0;x = 0;x = \frac{{17\pi }}{6}\) được xác định theo công thức
\(\begin{array}{l}V = \pi \int\limits_0^{\frac{{17\pi }}{6}} {{{( - \sin x + 2)}^2}} \;{\rm{d}}x = \pi \int\limits_0^{\frac{{17\pi }}{6}} {\left( {4 - 4\sin x + {{\sin }^2}x} \right)} {\rm{d}}x\\ = \pi \int\limits_0^{\frac{{17\pi }}{6}} {\left( {4 - 4\sin x + \frac{{1 - \cos 2x}}{2}} \right)} {\rm{d}}x = \pi \int\limits_0^{\frac{{17\pi }}{6}} {\left( {\frac{9}{2} - 4\sin x - \frac{{\cos 2x}}{2}} \right)} {\rm{d}}x\\ = \left. {\pi \left( {\frac{9}{2}x + 4\cos x - \frac{{\sin 2x}}{4}} \right)} \right|_0^{\frac{{17\pi }}{6}} = \frac{{51{\pi ^2}}}{4} - \frac{{32 + 15\sqrt 3 }}{8}\pi \approx 103,07\,\,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}} \right)\end{array}\)
Câu 3
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập