Cho biểu thức \(T = 3x - 2y - 4\) với \(x\) và \(y\) thỏa mãn hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y - 1 \le 0\\x + 4y + 9 \ge 0\\x - 2y + 3 \ge 0\end{array} \right.\). Biết \(T\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(x = {x_0}\) và \(y = {y_0}\). Tính \(x_0^2 + y_0^2\).

a) Hệ trên là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

b) Thay tọa độ điểm \(\left( {1;3} \right)\) vào hệ ta được \(\left\{ \begin{array}{l}3 \cdot 1 + 3 \le 6\\1 + 3 \le 4\\1 \ge 0,3 \ge 0\end{array} \right.\) (đúng).

Vậy điểm \(\left( {1;3} \right)\) thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

c) Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác \(OABC\), kể cả các cạnh (phần tô màu) với \(O\left( {0;0} \right),A\left( {0;4} \right),B\left( {1;3} \right),C\left( {2;0} \right)\).

d) \({S_{OABC}} = {S_{AHB}} + {S_{OHBK}} + {S_{BKC}}\)\( = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 3 + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 = 5\).

Đáp án: a) Đúng;     b) Đúng;    c) Sai;    d) Đúng.

Theo đề ta có hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\2x + 4y \le 200\\30x + 15y \le 1200\end{array} \right.\)(I).

Lợi nhuận thu được là \(F\left( {x,y} \right) = 40x + 30y\).

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(F\left( {x,y} \right) = 40x + 30y\) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (I).

Miền nghiệm của bất phương trình là miền tứ giác \(OABC\), kể cả các cạnh (phần tô màu) với \(O\left( {0;0} \right),A\left( {0;50} \right),B\left( {20;40} \right),C\left( {40;0} \right)\).

Khi đó \(F\left( {0,0} \right) = 40 \cdot 0 + 30 \cdot 0 = 0\); \(F\left( {0,50} \right) = 40 \cdot 0 + 30 \cdot 50 = 1500\);

\(F\left( {20,40} \right) = 40 \cdot 20 + 30 \cdot 40 = 2000\); \(F\left( {40,0} \right) = 40 \cdot 40 + 30 \cdot 0 = 1600\).

Lợi nhuận lớn nhất là 2000 nghìn đồng khi sản xuất 20 sản phẩm loại I, 40 sản phẩm loại II.

Suy ra \(x = 20;y = 40\). Do đó \(x + y = 60\).