Cho tam giác đều ABC có đường cao AH. Trên cạnh BC lấy điểm M tùy ý (M không trùng B,H,C). Gọi P, Q lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC.

a) Chứng minh MP + MQ = AH

b) Gọi K là trung điểm của AM. Chứng minh rằng KH \( \bot \) PQ

c) Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABM. Gọi D,E,F theo thứ tự là tiếp điểm của (O) với các cạnh BM,AB,AM. Vẽ  DN vuông góc với EF tại N. Chứng minh \(\widehat {BNE} = \widehat {MNF}\)

                 Điều kiện \(2x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge  - \frac{1}{2}\)

                 Phương trình viết lại thành:

                            \(36{x^2} - 212x + 284 = 4\sqrt {2x + 1} \;\)

                    \(\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow 36{x^2} - 212x + 284 + 8x + 5 = 4\left( {2x + 1} \right) + 4\sqrt {2x + 1}  + 1\)

                           \( \Leftrightarrow 36{x^2} - 204x + 289 = 4\left( {2x + 1} \right) + 4\sqrt {2x + 1}  + 1\)

                           \( \Leftrightarrow {\left( {6x - 17} \right)^2} = {\left( {2\sqrt {2x + 1}  + 1} \right)^2}\)

                          \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\sqrt {2x + 1}  + 1 = 6x - 17\;\left( 1 \right)}\\{2\sqrt {2x + 1}  + 1 = 17 - 6x\;\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

                 Xét (1), ta có:

                                      (1)\( \Leftrightarrow 2\sqrt {2x + 1}  = 6x - 18\)

                                         \(\;\; \Leftrightarrow 2\sqrt {2x + 1}  = 3\left( {2x + 1} \right) - 21\;\left( {1'} \right)\;\)

                Đặt \(t = \sqrt {2x + 1}  \ge 0\;\)ta có:

                              \(\left( {1'} \right) \Leftrightarrow 3{t^2} - 2t - 21 = 0\)

                                      \( \Leftrightarrow \left( {t - 3} \right)\left( {3t + 7} \right) = 0\)

                                     \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t - 3 = 0}\\{3t + 7 = 0}\end{array}} \right.\)

                 Xét (2), ta có:

                             \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow 6x + 2\sqrt {2x + 1}  - 16 = 0\)

                                   \( \Leftrightarrow 3\left( {2x + 1} \right) + 2\sqrt {2x + 1}  - 19 = 0\)

                Đặt \(t = \sqrt {2x + 1}  \ge 0\) ta có:

                                                   \(\left( {2'} \right) \Leftrightarrow 3{t^2} + 2t - 19 = 0\)

                Giải phương trình này ta được hai nghiệm \({t_1} = \frac{{ - 1 + \sqrt {58} }}{3}\;\left( {nhan} \right);{t_2} = \frac{{ - 1 - \sqrt {58} }}{3}\left( {loai} \right)\;\)

                Với \({t_1} = \frac{{ - 1 + \sqrt {58} }}{3}\;\) ta được:

                 \(\sqrt {2x + 1}  = \frac{{ - 1 + \sqrt {58} }}{3}\)\( \Leftrightarrow 2x + 1 = \frac{{59 - 2\sqrt {58} }}{9}\) \( \Leftrightarrow 2x = \frac{{50 - 2\sqrt {58} }}{9}\;\)        \( \Leftrightarrow x = \frac{{25 - \sqrt {58} }}{9}\;\left( {nhan} \right)\)

               Vậy \(S = \left\{ {\frac{{25 - \sqrt {58} }}{9};4} \right\}\)

      a) Ta áp dụng tính chất a - S (a) \( \vdots \) 9 với mọi số nguyên dương a (bạn đọc tự chứng minh tính chất này)

               Vậy ( a + b - S(a) = a + b - S(a+b)\( \vdots \)9

                   \( \Rightarrow \left( {a - S\left( a \right)} \right) + b \vdots 9 \Rightarrow b \vdots 9\)

               Tương tự , ta được \(a \vdots 9.\) Vậy a , b chia hết cho 9 (đpcm)   

       b) Phương trình viết lại:

                       \(2{x^2} + 2x + 1 = 2{y^4} + 4{y^3} + 6{y^2} + 4y + 1\)

                  \( \Rightarrow 2{x^2} + 2x + 2 = 2{y^4} + 4{y^3} + 6{y^2} + 4y + 2\;\)

              \(\;\;\;\; \Rightarrow {x^2} + x + 1 = {\left( {{y^2} + y + 1} \right)^2}\)

          Vậy từ đây ta được \({x^2} + x + 1\) là số chính phương hay \(4{x^2} + 4x + 4 = {\left( {2x + 1} \right)^2} + 3\;\)là số chính phương.

           Đặt  (**)

           Ta có:

                    \(\left( {**} \right) \Leftrightarrow {t^2} - {\left( {2x + 1} \right)^2} = 3\)

                            \( \Leftrightarrow \left( {t - 2x - 1} \right)\left( {t + 2x + 1} \right) = 3\)

           Xét tất cả các trường hợp sau:

           Vậy \(x = 0\;v\`a \;x = - 1\)

          Với x = 0 thay vào (*), ta được:

               (*)\( \Leftrightarrow {\left( {{y^2} + y + 1} \right)^2} = 1\)

                    \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{y^2} + y + 1 = 1 \Leftrightarrow {y^2} + y = 0 \Leftrightarrow y\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 0}\\{y = - 1}\end{array}} \right.}\\{{y^2} + y + 1 = - 1\left( {v\^o \;nghiem} \right)}\end{array}} \right.\)

         Với x = - 1 thay vào (*), ta được:

               (*)\(\; \Leftrightarrow {\left( {{y^2} + y + 1} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 0}\\{y = - 1}\end{array}} \right.\)

         Vậy phương trình có các nghiệm (x; y) = (0; 0); (0; - 1); (- 1; 0); (- 1; - 1)