Cho \(a,b,c\) là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện \(\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} = 1\).
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(P = \frac{1}{{\sqrt {5{a^2} + 2ab + 2{b^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {5{b^2} + 2bc + 2{c^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {5{c^2} + 2ca + 2{a^2}} }}\).
Cho \(a,b,c\) là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện \(\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} = 1\).
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(P = \frac{1}{{\sqrt {5{a^2} + 2ab + 2{b^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {5{b^2} + 2bc + 2{c^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {5{c^2} + 2ca + 2{a^2}} }}\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Với \(a,b,c > 0\), chứng minh được:
Với \(a,b > 0\), ta có :
\(\begin{array}{l}5{a^2} + 2ab + 2{b^2} = (4{a^2} + 4ab + {b^2}) + ({a^2} - 2ab + {b^2})\\ = {(2a + b)^2} + {(a - b)^2} \ge {(2a + b)^2}\\ \Rightarrow \sqrt {5{a^2} + 2ab + 2{b^2}} \ge \sqrt {{{(2a + b)}^2}} = 2a + b\end{array}\):
\( \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt {5{a^2} + 2ab + 2{b^2}} }} \le \frac{1}{{2a + b}} \le \frac{1}{9}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right) = \frac{1}{9}\left( {\frac{2}{a} + \frac{1}{b}} \right)\)
Tương tự: \(\frac{1}{{\sqrt {5{b^2} + 2bc + 2{c^2}} }} \le \frac{1}{9}\left( {\frac{2}{b} + \frac{1}{c}} \right){\rm{ ; }}\frac{1}{{\sqrt {5{c^2} + 2ca + 2{a^2}} }} \le \frac{1}{9}\left( {\frac{2}{c} + \frac{1}{a}} \right)\):
\(P \le \frac{1}{9}\left( {\frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} + \frac{2}{c} + \frac{1}{a}} \right) = \frac{1}{3}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \Rightarrow P \le \frac{1}{3} \cdot \sqrt {3\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} \right)} = \frac{1}{3} \cdot \sqrt 3 = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b = c\\\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = \sqrt 3 \)
Vậy \(\max P = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\) khi \(a = b = c = \sqrt 3 \).:
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Giả sử số tự nhiên \(n\) thỏa mãn đề bài. Khi đó tồn tại số nguyên dương \(k\) sao cho
\({2^{2024}} + {2^{2027}} + {2^n} = {k^2} \Leftrightarrow {9.2^{2024}} + {2^n} = {k^2} \Leftrightarrow \left( {k + {{3.2}^{1012}}} \right)\left( {k - {{3.2}^{1012}}} \right) = {2^n}\).
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}k + {3.2^{1012}} = {2^a}\\k - {3.2^{1012}} = {2^b}\\a,b \in \mathbb{N},a + b = n\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {2^a} - {2^b} = {3.2^{1013}}\) .
\( \Leftrightarrow {2^b}({2^{a - b}} - 1) = {3.2^{1013}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^{a - b}} - 1 = 3\\{2^b} = {2^{1013}}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b = 2\\b = 1013\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1015\\b = 1013\end{array} \right. \Rightarrow n = 2028\)
Vậy với \(n = 2028\)thì \({2^{2024}} + {2^{2027}} + {2^n}\) là số chính phương:
Lời giải
|
\(A = \frac{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^3} - 1}}{{1 + \sqrt x + x}}.\left[ {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}} \right]\) |
|
\( = \frac{{(\sqrt x - 1)(x + \sqrt x + 1)}}{{1 + \sqrt x + x}}.\left[ {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}} \right]\) |
|
\( = \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} - \frac{1}{{\sqrt x + 1}}} \right)\) |
|
\( = \left( {\sqrt x - 1} \right)\frac{2}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\) |
|
\( = \frac{2}{{\sqrt x + 1}}.\) |
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập