Cho \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 6z - 67 = 0\).

Giả sử \(\int\limits_0^2 {\frac{{x - 1}}{{{x^2} + 4x + 3}}} {\rm{d}}x = a\ln 5 + b\ln 3;\,\,a,b \in \mathbb{Q}\). Tính \(P = ab\) .

Cho một cái cốc thủy tinh hình trụ bán kính đáy là 6 cm, chiều cao là 10 cm đang đựng một lượng nước. Tính thể tích lượng nước trong cốc (đơn vị cm³), biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc nước chạm miệng cốc thì ở đáy mực nước trùng với đường kính đáy?

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right){\rm{: }}{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{z}} - 3 = 0\) và điểm \(A\left( {2\,;2\,;2} \right)\). Từ \(A\) kẻ được các tiếp tuyến đến mặt cầu \(\left( S \right)\). Biết các tiếp điểm luôn thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)có phương trình \(ax + by + c{\rm{z}} - 5 = 0\). Tính \(a + b + c\).

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) nằm trên đường thẳng \(d:\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\) và tiếp xúc với hai đường thẳng \(\left( P \right):2x - z - 4 = 0\), \(\left( Q \right):x - 2y - 2 = 0\). Tổng \(P = a + b + c\) bằng bao nhiêu?