1.Chứng minh \({n^2} + 3n + 1\) là số lẻ với mọi số tự nhiên \(n.\)
2. Tìm tất cả các số nguyên dương \(a,b\) sao cho \(4{a^2} + b + 4;\,\,4{b^2} + a + 4\) đều là số chính phương.
1.Chứng minh \({n^2} + 3n + 1\) là số lẻ với mọi số tự nhiên \(n.\)
2. Tìm tất cả các số nguyên dương \(a,b\) sao cho \(4{a^2} + b + 4;\,\,4{b^2} + a + 4\) đều là số chính phương.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
1.Ta có \({n^2} + 3n + 1 = n(n + 1) + 2n + 1.\)
Do \(n(n + 1)\) chẵn, \(2n + 1\) lẻ nên \({n^2} + 3n + 1\) là số lẻ.
2.Do vai trò \(a,b\) bình đẳng nên ta có thể giả sử \(b \le a\).
Khi đó \({\left( {2a} \right)^2} < 4{a^2} + b + 4 \le 4{a^2} + a + 4 \le 4{a^2} + 4a + 1 = {\left( {2a + 1} \right)^2}\)
Suy ra \(4{a^2} + b + 4 = {\left( {2a + 1} \right)^2} \Rightarrow b = 4a - 3.\)
Khi đó \({\left( {8a - 6} \right)^2} < 4{b^2} + a + 4 = 64{a^2} - 95a + 40 < {\left( {8a - 4} \right)^2}\)
Suy ra \(64{a^2} - 95a + 40 = {\left( {8a - 5} \right)^2} \Leftrightarrow a = 1 \Rightarrow b = 1.\)
Thử lại thấy thỏa mãn. Vậy \(a = 1;b = 1.\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
![Cho tam giác \[ABC\] nhọn, \(AB < AC.\) Kẻ các đường cao \(AD,BE,CF\) cắt nhau tại H. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/blobid0-1766569877.png)
1.Ta có \(\angle APF = \angle ABP\) nên \(\Delta APF\)đồng dạng \(\Delta ABP\)suy ra \(A{P^2} = AF.AB.\).0,5
Ta có \(\angle APO = \angle ADO = \angle AQO = {90^o}\)nên \(5\) điểm \(A,P,D,O,Q\) nằm trên đường tròn đường kính \(AO.\).0,5
2.Ta có \(\Delta AFH\)đồng dạng \(\Delta ADB\)nên \(A{P^2} = AF.AB = AH.AD\). Suy ra \(\Delta APH\)đồng dạng \(\Delta ADP\). Do đó\[\angle APH = \angle ADP\,\,\left( 1 \right)\] ..0,5
Tứ giác \(APDO\) nội tiếp nên \[\angle ADP\,\, = \angle AOP = \angle APQ\,\,\left( 2 \right)\]
Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) suy ra \[\angle APH = \angle APQ\,\,\]nên \(P,H,Q\) thẳng hàng..0,5
3.Gọi \(K\) là giao điểm \[QE\]và \(AD.\)
Ta có \[\angle KQF = \angle EBF = \angle HDF = \angle KDF\] nên tứ giác \[DFKQ\] nội tiếp..0,25
Ta có \(\angle PFD = \angle PFB + \angle BFD = \angle PCB + \angle ACB\).0,25
Và \(\angle KQD = \angle EQP + \angle PQD = \angle ACP + \angle POD\)\( = \angle ACP + 2\angle PCD = \angle ACB + \angle PCB\).0,25
Suy ra \(\angle PFD = \angle KQD\).Do đó \(\angle PFD + \angle DFK = \angle KQD + \angle DFK = {180^^\circ }\).
Suy ra \(PF\) đi qua \(K\) . Vậy \[PF,QE,AD\] đồng quy..0,25
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
1)Ta có \(ab + bc + ca = abc \Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1\).
Cách 1: Khi đó \(a + b + c = (a + b + c)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 3\sqrt[3]{{abc}}.3\sqrt[3]{{\frac{1}{{abc}}}} = 9\)
Cách 2: \(a + b + c = (a + b + c)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) = 3 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + \frac{b}{c} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c} + \frac{c}{a} \ge 3 + 2 + 2 + 2 = 9\)
2)Ta có \(a + b + c = (a + b + c)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) = \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{ab}} + \frac{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}{{bc}} + \frac{{{{\left( {c + a} \right)}^2}}}{{ca}} - 3\)
\( \ge \frac{{4{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{ab + bc + ca}} - 3 = \frac{{4\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{{abc}} + 5 = 4\left( {\frac{a}{{bc}} + \frac{b}{{ca}} + \frac{c}{{ab}}} \right) + 5\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập