1.Chứng minh \({n^2} + 3n + 1\) là số lẻ với mọi số tự nhiên \(n.\)

2.  Tìm tất cả các số nguyên dương \(a,b\) sao cho \(4{a^2} + b + 4;\,\,4{b^2} + a + 4\) đều là số chính phương.

1.Ta có \(\angle APF = \angle ABP\) nên \(\Delta APF\)đồng dạng \(\Delta ABP\)suy ra  \(A{P^2} = AF.AB.\).0,5

Ta có \(\angle APO = \angle ADO = \angle AQO = {90^o}\)nên \(5\) điểm \(A,P,D,O,Q\) nằm trên đường tròn đường kính \(AO.\).0,5

2.Ta có \(\Delta AFH\)đồng dạng \(\Delta ADB\)nên \(A{P^2} = AF.AB = AH.AD\). Suy ra \(\Delta APH\)đồng dạng \(\Delta ADP\). Do đó\[\angle APH = \angle ADP\,\,\left( 1 \right)\] ..0,5

Tứ giác \(APDO\) nội tiếp nên \[\angle ADP\,\, = \angle AOP = \angle APQ\,\,\left( 2 \right)\]

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) suy ra \[\angle APH = \angle APQ\,\,\]nên \(P,H,Q\) thẳng hàng..0,5

3.Gọi  \(K\) là giao điểm  \[QE\]và \(AD.\)

Ta có  \[\angle KQF = \angle EBF = \angle HDF = \angle KDF\]  nên tứ giác  \[DFKQ\] nội tiếp..0,25

Ta có  \(\angle PFD = \angle PFB + \angle BFD = \angle PCB + \angle ACB\).0,25

Và \(\angle KQD = \angle EQP + \angle PQD = \angle ACP + \angle POD\)\( = \angle ACP + 2\angle PCD = \angle ACB + \angle PCB\).0,25

Suy ra  \(\angle PFD = \angle KQD\).Do đó   \(\angle PFD + \angle DFK = \angle KQD + \angle DFK = {180^^\circ }\).

Suy ra \(PF\) đi qua \(K\) . Vậy \[PF,QE,AD\] đồng quy..0,25