1. Cho các số thực dương \(a,\,b,\,c\) thỏa mãn \(\frac{{ab}}{c} + \frac{{bc}}{a} + \frac{{ca}}{b} = a + b + c.\)
1. Cho các số thực dương \(a,\,b,\,c\) thỏa mãn \(\frac{{ab}}{c} + \frac{{bc}}{a} + \frac{{ca}}{b} = a + b + c.\)
Chứng minh \(a = b = c.\)
2. Giải phương trình \(\sqrt {3x + 1} - \sqrt {2x - 1} = 1.\)
3. Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y - \sqrt {xy} = 3\\\sqrt {x + 1} + \sqrt {y + 1} = 3\end{array} \right..\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
1)Ta có \(\frac{{ab}}{c} + \frac{{bc}}{a} + \frac{{ca}}{b} = a + b + c \Leftrightarrow {\left( {ab} \right)^2} + {\left( {bc} \right)^2} + {\left( {ca} \right)^2} = abc(a + b + c)\)
\( \Leftrightarrow 2{\left( {ab} \right)^2} + 2{\left( {bc} \right)^2} + 2{\left( {ca} \right)^2} = 2ab.bc + 2bc.ca + 2ca.ab\)
\( \Leftrightarrow {\left( {ab - bc} \right)^2} + {\left( {bc - ca} \right)^2} + {\left( {ca - ab} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow a = b = c\)
2)Điều kiện \(x \ge \frac{1}{2}.\)
Ta có \(\sqrt {3x + 1} - \sqrt {2x - 1} = 1 \Leftrightarrow \sqrt {3x + 1} = 1 + \sqrt {2x - 1} \)
Bình phương hai vế, rút gọn, ta được \(2\sqrt {2x - 1} = x + 1\)
\(2\sqrt {2x - 1} = x + 1 \Leftrightarrow 4\left( {2x - 1} \right) = {\left( {x + 1} \right)^2} \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 5\end{array} \right.\)
Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {1;5} \right\}\)
3)Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}xy \ge 0\\x,y \ge - 1\end{array} \right.\) . Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}S = x + y\\P = x.y\end{array} \right.\)\(({S^2} \ge 4P)\) hệ phương trình đã cho trở thành:\(\left\{ \begin{array}{l}S - \sqrt P = 3\\S + 2 + 2\sqrt {S + P + 1} = 9\end{array} \right.\)
\( & \left\{ \begin{array}{l}S - \sqrt P = 3\\S + 2 + 2\sqrt {S + P + 1} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S \ge 3;\\P = {\left( {S - 3} \right)^2}\\2\sqrt {S + {{\left( {S - 3} \right)}^2} + 1} = 7 - S\end{array} \right.\)
\[\begin{array}{l}2\sqrt {S + {{\left( {S - 3} \right)}^2} + 1} = 7 - S \Rightarrow 4\left( {{S^2} - 5S + 10} \right) = 49 - 14S + {S^2}\\ \Leftrightarrow 3{S^2} - 6S - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}S = - 1\\S = 3\end{array} \right.\end{array}\]
Thử lại thấy \(S = 3\) thỏa mãn. Khi đó ta được \(\left\{ \begin{array}{l}S = 3\\P = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\xy = 0\end{array} \right..\)
Giải ra ta được tập nghiệm của hệ \(S = \left\{ {\left( {0;3} \right);\left( {3;0} \right)} \right\}.\)
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
1)Ta có \(ab + bc + ca = abc \Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1\).
Cách 1: Khi đó \(a + b + c = (a + b + c)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 3\sqrt[3]{{abc}}.3\sqrt[3]{{\frac{1}{{abc}}}} = 9\)
Cách 2: \(a + b + c = (a + b + c)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) = 3 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + \frac{b}{c} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c} + \frac{c}{a} \ge 3 + 2 + 2 + 2 = 9\)
2)Ta có \(a + b + c = (a + b + c)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) = \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{ab}} + \frac{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}{{bc}} + \frac{{{{\left( {c + a} \right)}^2}}}{{ca}} - 3\)
\( \ge \frac{{4{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{ab + bc + ca}} - 3 = \frac{{4\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{{abc}} + 5 = 4\left( {\frac{a}{{bc}} + \frac{b}{{ca}} + \frac{c}{{ab}}} \right) + 5\)
Lời giải
1.Ta có \({n^2} + 3n + 1 = n(n + 1) + 2n + 1.\)
Do \(n(n + 1)\) chẵn, \(2n + 1\) lẻ nên \({n^2} + 3n + 1\) là số lẻ.
2.Do vai trò \(a,b\) bình đẳng nên ta có thể giả sử \(b \le a\).
Khi đó \({\left( {2a} \right)^2} < 4{a^2} + b + 4 \le 4{a^2} + a + 4 \le 4{a^2} + 4a + 1 = {\left( {2a + 1} \right)^2}\)
Suy ra \(4{a^2} + b + 4 = {\left( {2a + 1} \right)^2} \Rightarrow b = 4a - 3.\)
Khi đó \({\left( {8a - 6} \right)^2} < 4{b^2} + a + 4 = 64{a^2} - 95a + 40 < {\left( {8a - 4} \right)^2}\)
Suy ra \(64{a^2} - 95a + 40 = {\left( {8a - 5} \right)^2} \Leftrightarrow a = 1 \Rightarrow b = 1.\)
Thử lại thấy thỏa mãn. Vậy \(a = 1;b = 1.\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập