Sau khi tổ chức một trận đấu giao hữu giữa hai đội bóng lớp 9A và 9B, ban tổ chức có 11 gói kẹo muốn chia cho 2 đội. Mỗi đội được chia 5 gói làm phần thưởng và 1 gói ban tổ chức giữ lại để liên hoan. Biết rằng dù chọn bất kì gói nào để giữ lại, ban tổ chức luôn có thể chia 10 gói còn lại cho 2 đội mà tổng số viên kẹo trong 5 gói cho mỗi đội là bằng nhau. Chứng minh rằng 11 gói kẹo đó phải có số viên kẹo bằng nhau.
Sau khi tổ chức một trận đấu giao hữu giữa hai đội bóng lớp 9A và 9B, ban tổ chức có 11 gói kẹo muốn chia cho 2 đội. Mỗi đội được chia 5 gói làm phần thưởng và 1 gói ban tổ chức giữ lại để liên hoan. Biết rằng dù chọn bất kì gói nào để giữ lại, ban tổ chức luôn có thể chia 10 gói còn lại cho 2 đội mà tổng số viên kẹo trong 5 gói cho mỗi đội là bằng nhau. Chứng minh rằng 11 gói kẹo đó phải có số viên kẹo bằng nhau.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi \({a_1},\;{a_2},\; \ldots ,\;{a_{11}}\) lần lượt là số kẹo trong 11 gói.
Đặt \(S = {a_1} + {a_2} + \ldots + {a_{11}}\)
Giả sử tổn tại \(a \le k,\;l \le 11\;m\`a \;{a_k} \ne {a_l}\)
Theo bài ra, ta suy ra được \(S - {a_1},\;S - {a_2}, \ldots ,S - {a_{11}}\) đều là số chẵn
\( \Rightarrow {a_1},\;{a_2}, \ldots ,{a_{11}}\) cũng chẵn hoặc cũng lẻ
Ta thực hiện quá trình như sau:
· Nếu \({a_1},\;{a_2}, \ldots ,{a_{11}}\) cũng chẵn, ta thu được bộ số mới
\(\left( {{b_1},\;{b_2},\; \ldots ,\;{b_{11}}} \right) = \left( {\frac{{{a_1}}}{2},\frac{{{a_2}}}{2},\; \ldots ,\frac{{{a_{11}}}}{2}} \right)\)
· Nếu \({a_1},\;{a_2}, \ldots ,{a_{11}}\) cũng lẻ, ta thu được bộ số mới
\(\left( {{b_1},\;{b_2},\; \ldots ,\;{b_{11}}} \right) = \left( {\frac{{{a_1} - 1}}{2};\frac{{{a_2} - 1}}{2}; \ldots ;\frac{{{a_{11}} - 1}}{2}} \right)\)
Ta thấy 11 gói kẹo với số kẹo \({b_1};{b_2}; \ldots ;{b_{11}}\) cũng thoả mãn điều kiện đề bài.
Tiếp tục quá trình như vậy đến khi thu được bộ \(\left( {{x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{11}}} \right)\) mà tồn tại \(1 \le j;i \le 11\) sao cho \(xj = 0;xi = 1\)
Mà bộ \(({z_1};{z_2}; \ldots ;{z_{11}})\) thoả mãn điều kiện đề bài nên \({x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{11}}\) cùng tính chẵn lẻ (Mâu thuẫn)
Điều giả sử là sai.
Vậy \({a_1} = {a_2} = \ldots = {a_{11}}\)
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
1. Xét đường tròn (O): \(BD \bot BO,\;CD \bot CO\) (tính chất tiếp tuyến)
\( \Rightarrow \widehat {DBO} = \widehat {DCO} = {90^\diamondsuit }\) \( \Rightarrow \widehat {DBO} + \widehat {DCO} = {180^\diamondsuit }\)
\( \Rightarrow \)Tứ giác OBDC nội tiếp
Lại có \(OB = OC,\;MB = MC,\;DB = DC\)
\( \Rightarrow O,\;M,\;D\) cùng thuộc trung trực của đoạn BC
Suy ra \(MO.MD = MB.MC\)
Mà tứ giác ABNC nội tiếp \( \Rightarrow MB.MC = MA.MN\)
\( \Rightarrow MO.MD = MA.MN\) \( \Rightarrow \) Tứ giác AOND nội tiếp
\( \Rightarrow DO\) là phân giác \(\widehat {ADN}\)b) Xét \({\rm{\Delta }}DBP\) và \({\rm{\Delta }}DAB\) có
\(\widehat {BDP}\;\)chung; \(\widehat {DBP} = \widehat {DAB}\)
\( \Rightarrow {\rm{\Delta }}DBP \sim {\rm{\Delta }}DAB\) (g.g) \( \Rightarrow \frac{{AB}}{{BP}} = \frac{{AD}}{{DB}}\)
Tương tự ta có \({\rm{\Delta }}DCP \sim {\rm{\Delta }}DAC \Rightarrow \frac{{AC}}{{CP}} = \frac{{AD}}{{DC}}\)
\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{BP}} = \frac{{AC}}{{CP}} \Rightarrow AB.CP = AC.BP\)
Áp dụng định lý Ptoleney cho tứ giác ABPC nội tiếp ta có
\(AP.BC = AB:CP + AC.BP\)
\( \Rightarrow 2AP.CM = 2AC.BP \Rightarrow \frac{{AP}}{{AC}} = \frac{{BP}}{{CM}}\)
\({\rm{\Delta }}ABP\) và \({\rm{\Delta }}AMC\) có \(\frac{{AP}}{{AC}} = \frac{{BP}}{{CM}}\;;\;\widehat {APB} = \widehat {ACM}\)
\( \Rightarrow {\rm{\Delta }}ABP \sim {\rm{\Delta }}AMC\) (c.g.c) \( \Rightarrow \widehat {ABP} = \widehat {AMC}\)
Lại có tứ giác ABPF nội tiếp nên \(\widehat {ABP} = {180^\diamondsuit } - \widehat {AFP}\)
Lại có tứ giác AMEF nội tiếp nên \(\widehat {AME} = {180^\diamondsuit } - \widehat {AFB}\)
\( \Rightarrow \widehat {AFP} = \widehat {AFE} \Rightarrow E,\;F,\;P\) thẳng hàngc) Áp dụng hệ thức lượng cho \({\rm{\Delta }}OCD\) vuông tại C ta có
\(OM.OD = O{C^2} = O{F^2} \Rightarrow \frac{{OF}}{{OM}} = \frac{{OD}}{{OF}}\) \( \Rightarrow {\rm{\Delta }}OMF \sim {\rm{\Delta }}OFD\;\) (c.g.c)
\( \Rightarrow \widehat {OFD} = \widehat {OMF} = {90^\diamondsuit } - \widehat {CMF} = {90^\diamondsuit } - \widehat {FAE} = {90^\diamondsuit } - \widehat {AFO}\;\)
\( \Rightarrow AFD = {90^\diamondsuit } \Rightarrow AF \bot FD\) mà \(AF \bot FK\)
\( \Rightarrow DF = DK \Rightarrow D,\;F,\;K\) thẳng hàng
Gọi \(Z,\;X\) là giao \(FN\) với \(BC,\;DM\).
Gọi \(T\) là giao \(KZ\) với \(MF\).
Ta có \(D{C^2} = DK.DF = DM.DO \Rightarrow \) Tứ giác OMKF nội tiếp
\( \Rightarrow \widehat {KMF} = \widehat {KOF\;} = 2\widehat {OAF} = 2\widehat {FMS}\;\)
\( \Rightarrow \widehat {KME} = \widehat {FME} = \widehat {FAO} = \widehat {KNF}\) \( \Rightarrow \) Tứ giác MNKZ nội tiếp
\( \Rightarrow \widehat {KZM} = {180^\diamondsuit } - \widehat {MNK} = {90^\diamondsuit }\)
Lại có \({\rm{\Delta }}TMK\) có MZ là đường cao đồng thời là phân giác
\( \Rightarrow ZT = ZK\)
Do \(TK//DM \Rightarrow \frac{{ZT}}{{MX}} = \frac{{FZ}}{{FX}} = \frac{{ZK}}{{DX}}\)
\( \Rightarrow XD = XM \Rightarrow \) X là trung điểm của đoạn DM.
Vậy FN đi qua trung điểm của đoạn DMLời giải
1. \(\left( {y + 2} \right){x^2} + 1 = {y^2}\;\left( 1 \right)\)
\(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow {y^2} - 1 \vdots y + 2\)
\( \Leftrightarrow \left( {{y^2} - 4} \right) + 3 \vdots y + 2\)
\( \Leftrightarrow 3 \vdots y + 2\)
\( \Rightarrow y + 2 \in \left\{ { \pm 3;\; \pm 1} \right\}\)
\( \Rightarrow y \in \left\{ {1;\; - 5;\; - 1;\; - 3} \right\}\)
· \(y = 1\) thay vào (1) \( \Rightarrow x = 0\) thoả mãn
· \(y = - 5\) thay vào (1) \( \Rightarrow {x^2} = - 8\) loại
· \(y = - 1\) thay vào (1) \( \Rightarrow x = 0\) thoả mãn
· \(y = - 3\) thay vào (1) \( \Rightarrow {x^2} = - 8\;\)loại
Vậy (x; y) Î {(0; 1); (0; -1)}
2. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3n + 1 = {a^2}}\\{11n + 1 = {b^2}}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow n + 3 = 4{a^2} - {b^2} = \left( {2a - b} \right)\left( {2a + b} \right)\)
\(a,\;b \in {N^*} \Rightarrow 2a + b > 0 > 2a - b\)
\(n + 3\) là số nguyên tố \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2a - b = 1}\\{2a + b = n + 3}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{{n + 4}}{4}}\\{b = \frac{{n + 2}}{2}}\end{array}} \right.} \right.\)
\( \Rightarrow 11n + 1 = {b^2} = {\left( {\frac{{n + 2}}{2}} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow {n^2} = 40n\)
\( \Leftrightarrow n = 40\)Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập