Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\). Kẻ \(AH\) vuông góc với \(BC\) tại \(H\), kẻ \(HE\) vuông góc với \(AB\) tại \(E\), kẻ \(HD\) vuông góc với \(AC\) tại \(D\).

a) Chứng minh: tứ giác \(AEHD\) là tứ giác nội tiếp.

b) Dựng đường kính \(AK\) của đường tròn \(\left( O \right)\). Chứng minh \(AE.AK = AH.AC\)

a)     Tứ giác \(AEHD\) có:

\(\begin{array}{l}\widehat {AEH} = 90^\circ \,\,\,\,\left( {HE \bot AB} \right)\\\widehat {ADH} = 90^\circ \,\,\,\,\left( {HD \bot AC} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \widehat {AEH} + \widehat {ADH} = 180^\circ \)

Vậy tứ giác \(AEHD\) nội tiếp

b)     Ta có \(\widehat {ACK} = 90^\circ \)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\begin{array}{l}\widehat {EAH} + \widehat {ABH} = 90^\circ \\\widehat {CAK} + \widehat {AKC} = 90^\circ \end{array}\)

mà \[\widehat {ABH} = \widehat {AKC}\] (cùng chắn cung \(AC\))

\( \Rightarrow \widehat {EAH} = \widehat {CAK}\)

Xét \(\Delta EAH\)  và \(\Delta CAK\) có:

\(\widehat {EAH} = \widehat {ACK} = 90^\circ \)

\(\widehat {EAH} = \widehat {CAK}\) (cmt)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AK}}\\ \Rightarrow AE.AK = AH.AC\end{array}\)