Tìm các giá trị của tham số \(m\) để phương trình: \({x^2} - \left( {m + 1} \right)x - 2023 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},\,{x_2}\) thỏa: \(\frac{1}{{{x_1} - 2023}} + \frac{1}{{{x_2} - 2023}} = 1.\)

Gọi \(x\) là số bài tập mỗi ngày bạn A phải làm theo kế hoạch ban đầu

Điều kiện: \(x \in \mathbb{N},\,0 < x < 80\)

Trên thực tế mỗi ngày bạn A phải làm là \(x + 2\) bài tập

Theo kế hoạch số ngày để bạn A hoàn thành 80 bài tập là \(\frac{{80}}{x}\) (ngày)

Do bạn A hoàn thành sớm hơn 2 ngày so với kế hoạch ban đầu nên ta có phương trình:

\(\frac{{80}}{x} - \frac{{80}}{{x + 2}} = 2\)

Giải phương trình ta được \(x = 8\) (thỏa điều kiện)

Vậy theo kế hoạch mỗi ngày bạn A phải làm xong 8 bài tập.

a)     Tứ giác \(AEHD\) có:

\(\begin{array}{l}\widehat {AEH} = 90^\circ \,\,\,\,\left( {HE \bot AB} \right)\\\widehat {ADH} = 90^\circ \,\,\,\,\left( {HD \bot AC} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \widehat {AEH} + \widehat {ADH} = 180^\circ \)

Vậy tứ giác \(AEHD\) nội tiếp

b)     Ta có \(\widehat {ACK} = 90^\circ \)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\begin{array}{l}\widehat {EAH} + \widehat {ABH} = 90^\circ \\\widehat {CAK} + \widehat {AKC} = 90^\circ \end{array}\)

mà \[\widehat {ABH} = \widehat {AKC}\] (cùng chắn cung \(AC\))

\( \Rightarrow \widehat {EAH} = \widehat {CAK}\)

Xét \(\Delta EAH\)  và \(\Delta CAK\) có:

\(\widehat {EAH} = \widehat {ACK} = 90^\circ \)

\(\widehat {EAH} = \widehat {CAK}\) (cmt)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AK}}\\ \Rightarrow AE.AK = AH.AC\end{array}\)