Tìm các giá trị của tham số \(m\) để phương trình: \({x^2} - \left( {m + 1} \right)x - 2023 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},\,{x_2}\) thỏa: \(\frac{1}{{{x_1} - 2023}} + \frac{1}{{{x_2} - 2023}} = 1.\)

\({x^2} - \left( {m + 1} \right)x - 2023 = 0\)

\(\Delta  = {\left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} + 2023 = {\left( {m + 1} \right)^2} + 2023 > 0\) với \(\forall m\) nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a} = m + 1\\{x_1}.\,{x_2} = \frac{c}{a} =  - 2023\end{array} \right.\,\,\,\,(1)\)

\(\frac{1}{{{x_1} - 2023}} + \frac{1}{{{x_2} - 2023}} = 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{{x_2} - 2023 + {x_1} - 2023}}{{\left( {{x_1} - 2023} \right)\left( {{x_2} - 2023} \right)}} = 1\\ \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} - 4046 = {x_1}{x_2} - 2023\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {2023^2}\end{array}\)

\( \Leftrightarrow {x_1}{x_2} - 2024\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {2023^2} + 4046 = 0\,\,\,\,(2)\)

Thay (1) vào (2) ta được:

\(\begin{array}{l} - 2023 - 2024\left( {m + 1} \right) + {2023^2} + 4046 = 0\\ \Leftrightarrow  - 2024\left( {m + 1} \right) =  - 4094552\\ \Leftrightarrow m + 1 = 2023\end{array}\)

\( \Leftrightarrow m = 2022\)  (nhận)

Vậy \(m = 2022\) thì phương trình \({x^2} - \left( {m + 1} \right)x - 2023 = 0\)có hai nghiệm \({x_1},\,{x_2}\) thỏa: \(\frac{1}{{{x_1} - 2023}} + \frac{1}{{{x_2} - 2023}} = 1.\)