Hai thành phố \(A\) và \(B\) cách nhau một con sông. Người ta xây dựng một cây cầu \(EF\) bắc qua sông biết rằng thành phố \(A\) cách con sông một khoảng là \(4\)km và thành phố \(B\) cách con sông một khoảng là \(6\)km (được mô hình hoá như hình vẽ), biết \(HE + KF = 20\)km và độ dài \(EF\) không đổi. Hỏi độ dài \(EH\) bằng bao nhiêu kilomet để đường đi từ thành phố A đến thành phố B là ngắn nhất (đi theo đường \(AEFB\))?

Đáp án: \(15\)

Từ giả thiết, điểm \(M\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - z - 1 = 0\);

Có \(MA = MB\), suy ra \(M\) thuộc mặt phẳng trung trực của \(AB\)là \(\left( Q \right):y + z = 0\);

Suy ra\(M\)thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).

Ta tìm được đó là đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y = t\\z =  - t\end{array} \right.\).

Tham số hóa \(M\left( {1 - 3t;t; - t} \right)\) thì \(\overrightarrow {AM} \left( { - 1 - 3t;t - 2; - t} \right);\overrightarrow {BM} \left( { - 1 - 3t;t; - t + 2} \right)\)

Suy ra \(\cos AMB = \frac{{\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} }}{{MA.MB}} = \frac{{{{\left( {1 + 3t} \right)}^2} + t\left( {t - 2} \right).2}}{{{{\left( {1 + 3t} \right)}^2} + {{\left( {t - 2} \right)}^2} + {t^2}}} = \frac{{11{t^2} + 2t + 1}}{{11{t^2} + 2t + 5}} = f\left( t \right)\)

Để góc \(AMB\) lớn nhất thì ta cần \[\cos AMB = f\left( t \right)\] nhỏ nhất.

Khảo sát hàm \(f\left( t \right)\)ta được \(f\left( t \right)\)nhỏ nhất khi và chỉ khi \(t =  - \frac{1}{{11}}\).

Suy ra \(M\left( {\frac{{14}}{{11}}; - \frac{1}{{11}};\frac{1}{{11}}} \right)\). Vậy \(S = 15\).

a) Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} - x + 2}}{{x - 2}} =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} - x + 2}}{{x - 2}} =  + \infty \)

Do đó, đồ thị \(\left( C \right)\) có tiệm cận đứng là \(x = 2\).

Vậy a) Đúng

b) Ta có \(y' = \frac{{{x^2} - 4x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\); \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 4\end{array} \right.\)

BBT

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).         

Vậy b) Sai

c) Ta có \(y = x + 1 + \frac{4}{{x - 2}}\) Þ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left[ {y - \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{4}{{x - 2}} = 0\)

Suy ra đồ thị \(\left( C \right)\) có tiệm cận xiên \(y = x + 1\).

Vậy c) Đúng

d) Từ BBT, \(y = m\) cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt khi \(\left[ \begin{array}{l}m <  - 1\\m > 7\end{array} \right.\).

Với \(m\) nguyên và \(m \in \left[ {0;2025} \right]\) Þ \(m \in \left\{ {8;9;10;...;2025} \right\}\) Þ Có 2018 số.

Vậy d) Sai