Khi loại thuốc \[A\] được tiêm vào bệnh nhân, nồng độ mg/l của thuốc trong máu sau \(x\) phút (kể từ khi bắt đầu tiêm) được xác định bởi công thức: \(C(x) = \frac{{30x}}{{{x^2} + 2}}.\) Để đưa ra những lời khuyên và cách xử lí phù hợp cho bệnh nhân, ta cần tìm khoảng thời gian mà nồng độ của thuốc trong máu đang tăng. Em hãy cho biết hàm nồng độ thuốc trong máu \(C(x)\) đạt giá trị cực đại là bao nhiêu trong khoảng thời gian \[6\] phút sau khi tiêm (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Đáp án: \[499\].

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) =  + \infty  \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {2f\left( x \right) - {f^2}\left( x \right)} \right] =  - \infty \] nên không tồn tại \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } g\left( x \right)\].\[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {\sqrt {2f\left( x \right) - {f^2}\left( x \right)}  + m} \right] = 1 + m\].\[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {\sqrt {{x^2} + 1000x}  + x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {\frac{{1000x}}{{\sqrt {{x^2} + 1000x}  - x}}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {\frac{{1000}}{{ - \sqrt {1 + 1000/x}  - 1}}} \right] =  - 500.\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } g\left( x \right) = \frac{{ - 500}}{{1 + m}}\left( {m \ne  - 1} \right)\] suy ra tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \[g\left( x \right)\] là đường thẳng \[y = \frac{{ - 500}}{{1 + m}}\]

Để đồ thị hàm số \[g\left( x \right)\] có tiệm cận ngang nằm dưới đường thẳng \[y =  - 1\] khi và chỉ khi \[\frac{{ - 500}}{{1 + m}} <  - 1 \Leftrightarrow \frac{{m - 499}}{{m + 1}} < 0 \Leftrightarrow  - 1 < m < 499\] mà \[m\] nguyên thuộc \[\left[ { - 2020;2020} \right]\] nên \[m \in \left\{ {0;1;2;...;498} \right\}\].

Vậy có \[498 - 0 + 1 = 499\] giá trị nguyên của \[m\].

Đáp án: \(15\)

Từ giả thiết, điểm \(M\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - z - 1 = 0\);

Có \(MA = MB\), suy ra \(M\) thuộc mặt phẳng trung trực của \(AB\)là \(\left( Q \right):y + z = 0\);

Suy ra\(M\)thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).

Ta tìm được đó là đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y = t\\z =  - t\end{array} \right.\).

Tham số hóa \(M\left( {1 - 3t;t; - t} \right)\) thì \(\overrightarrow {AM} \left( { - 1 - 3t;t - 2; - t} \right);\overrightarrow {BM} \left( { - 1 - 3t;t; - t + 2} \right)\)

Suy ra \(\cos AMB = \frac{{\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} }}{{MA.MB}} = \frac{{{{\left( {1 + 3t} \right)}^2} + t\left( {t - 2} \right).2}}{{{{\left( {1 + 3t} \right)}^2} + {{\left( {t - 2} \right)}^2} + {t^2}}} = \frac{{11{t^2} + 2t + 1}}{{11{t^2} + 2t + 5}} = f\left( t \right)\)

Để góc \(AMB\) lớn nhất thì ta cần \[\cos AMB = f\left( t \right)\] nhỏ nhất.

Khảo sát hàm \(f\left( t \right)\)ta được \(f\left( t \right)\)nhỏ nhất khi và chỉ khi \(t =  - \frac{1}{{11}}\).

Suy ra \(M\left( {\frac{{14}}{{11}}; - \frac{1}{{11}};\frac{1}{{11}}} \right)\). Vậy \(S = 15\).